Baccalauréat septembre 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles-Guyane

Énoncé de l'exercice 4 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Sur une population donnée, abonnée à deux opérateurs téléphoniques A et B, on considère que, chaque année, 40 % des abonnés à l'opérateur A le quitte pour l'opérateur B et 10 % des abonnés à l'opérateur B le quitte pour l'opérateur A. On néglige les nouveaux abonnés.
On suppose de plus qu'en 2005, 25 % de cette population est abonnée à l'opérateur A.

partie a :

Déterminer le graphe probabiliste correspondant à cette situation. En déduire la matrice de transition, notée M.
On note :
- $a_{n}$ la part des abonnés à l'opérateur A l'année 2005 + n
- $b_{n}$ la part des abonnés à l'opérateur B l'année 2005 + n
- $b_{n}$ la matrice $(\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ , correspondant à l'état probabiliste l'année 2005 + n.
1. Préciser $E_{0}$ .
2. Calculer $E_{1}$ en faisant apparaître vos calculs.
3. Déterminer la répartition prévisible de cette population en 2013.
  On pourra utiliser la calculatrice et on donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième.
4. Soit E la matrice $(\begin{matrix} a & b \end{matrix})$ où a et b sont deux réels positifs tels que $a + b = 1$ .
  Déterminer a et b tels que $E = E \times M$ . Interpréter ce résultat.

partie b :

Montrer que $a_{n + 1} = 0,5 a_{n} + 0,1$ .
On pose, pour tout entier naturel n, $u_{n} = a_{n} - 0,2$ .
1. Montrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
2. En déduire l'expression de $u_{n}$ puis de $a_{n}$ en fonction de n.
3. Déterminer la limite de la suite $(a_{n})$ lorsque n tend vers $+ \infty$ . Que retrouve-t-on ?

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