Baccalauréat juin 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[- 3; + \infty [$ , croissante sur les intervalles $[- 3; - 1]$ et $[2; + \infty [$ et décroissante sur l'intervalle $[- 1; 2]$ .

On note $f'$ sa fonction dérivée sur l'intervalle $[- 3; + \infty [$ .

La courbe Γ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal $(O; \vec{𝚤}, \vec{ȷ})$ . Elle passe par le point $A (- 3; 0)$ et admet pour asymptote la droite Δ d'équation $y = 2 x - 5$ .

Pour chacune des affirmations ci-dessous, cocher la case V (l'affirmation est vraie) ou la case F (l'affirmation est fausse).
Les réponses ne seront pas justifiées.

NOTATION: une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0

a) L'équation $f (x) = 4$ admet exactement deux solutions dans l'intervalle $[- 3; + \infty [$ . Graphiquement, les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersection de la droite D d'équation $y = 4$ et de la courbe Γ. Or la la droite D coupe la courbe en trois points donc l'affirmation est fausse.	V F
b) $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ . La courbe Γ admet pour asymptote la droite Δ d'équation $y = 2 x - 5$ . Or $\lim_{x \to + \infty} 2 x - 5 = + \infty$ . Donc $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$	V F
c) $\lim_{x \to + \infty} [f (x) - (2 x - 5)] = + \infty$ . La courbe Γ admet pour asymptote la droite Δ d'équation $y = 2 x - 5$ Donc $\lim_{x \to + \infty} [f (x) - (2 x - 5)] = 0$	V F
d) $f' (0) = 1$ . Le coefficient directeur de la tangente à la courbe Γ au point d'abscisse 0 est négatif, alors l'affirmation est fausse.	V F
e) $f' (x) > 0$ pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $[- 2; 1]$ . Sur l'intervalle $[- 2; 1]$ la fonction f n'est pas monotone donc l'affirmation est fausse.	V F
f) $\int_{- 1}^{1} f (x) d x ⩾ 7$ . Sur l'intervalle $[- 1; 1]$ la fonction f est positive alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire : Soit a et b deux réels tels que $a ⩽ b$ , f une fonction définie et continue sur l'intervalle $[a; b]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O; \vec{𝚤}, \vec{ȷ})$ . Si, pour tout réel x de l'intervalle $[a; b]$ , $f (x) ⩾ 0$ , alors $\int_{a}^{b} f (x) d x$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = a$ et $x = b$ . L'aire en unités d'aire du domaine D délimité par la courbe Γ, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = - 1$ et $x = 1$ est égale à l'intégrale $\int_{- 1}^{1} f (x) d x$ . Or l'aire du domaine D est supérieure à 7 unités d'aire.	V F

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