Baccalauréat juin 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

La médiathèque d'une université possède des DVD de deux provenances, les DVD reçus en dotation et les DVD achetés.
Par ailleurs, on distingue les DVD qui sont de production européenne et les autres.

On choisit au hasard un de ces DVD.
On note :
D l'évènement « le DVD a été reçu en dotation » et $\bar{D}$ l'évènement contraire,
U l'évènement « le DVD est de production européenne » et $\bar{U}$ l'évènement contraire.

On modélise cette situation aléatoire par l'arbre incomplet suivant dans lequel figurent quelques probabilités :
par exemple, la probabilité que le DVD ait été reçu en dotation est $p (D) = 0,25$ .

On donne, de plus, la probabilité de l'évènement U : $p (U) = 0,7625$ .

Les parties A et B sont indépendantes

partie a

1. Donner la probabilité de U sachant D.
  
  D'après les indications qui figurent sur l'arbre : $p_{D} (U) = 0,65$ .
2. Calculer $p (\bar{D})$ .
  
  $p (\bar{D}) = 1 - p (D)$ . Soit $p (\bar{D}) = 0,75$
1. Calculer la probabilité que le DVD choisi ait été reçu en dotation et soit de production européenne (donner la valeur exacte).
  
  $\begin{array}{l} p (D \cap U) & = & p_{D} (U) \times p (D) \\ = & 0,65 \times 0,25 \\ = & 0,1625 \end{array}$
  
  La probabilité que le DVD choisi ait été reçu en dotation et soit de production européenne est $p (D \cap U) = 0,1625$ .
2. Montrer que la probabilité que le DVD choisi ait été acheté et soit de production européenne est égale à 0,6.
  
  D et $\bar{D}$ forment une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
  Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
  Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $p (U) = p (U \cap D) + p (U \cap \bar{D})$
  
  D'où $\begin{array}{l} p (U \cap \bar{D}) & = & p (U) - p (U \cap D) \\ = & 0,7625 - 0,1625 \\ = & 0,6 \end{array}$
  
  La probabilité que le DVD choisi ait été acheté et soit de production européenne est $p (U \cap \bar{D}) = 0,6$ .
Sachant que le DVD choisi a été acheté, calculer la probabilité qu'il soit de production européenne.

$\begin{array}{l} p_{\bar{D}} (U) & = & \frac{p (U \cap \bar{D})}{p (\bar{D})} \\ = & \frac{0,6}{0,75} \\ = & 0,8 \end{array}$

Sachant que le DVD choisi a été acheté, la probabilité qu'il soit de production européenne est $p_{\bar{D}} (U) = 0,8$ .

partie b

On choisit trois DVD au hasard. On admet que le nombre de DVD est suffisamment grand pour que ce choix soit assimilé à trois tirages successifs indépendants avec remise. On rappelle que la probabilité de choisir un DVD reçu en dotation est égale à 0,25.

Déterminer la probabilité de l'évènement : « exactement deux des trois DVD choisis ont été reçus en dotation ». (Donner la valeur décimale arrondie au millième).

La loi de probabilité associée à cette expérience est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,25 qui peut être représentée par l'arbre ci-dessous :

L'évènement : « exactement deux des trois DVD choisis ont été reçus en dotation » peut être obtenu selon les trois chemins en rouge sur l'arbre. Les évènements correspondants à ces tois chemins ont la même probabilité d'où la probabilité cherchée : $3 \times {0,25}^{2} \times 0,75 = 0,140625$

Arrondie au millième, la probabilité de l'évènement : « exactement deux des trois DVD choisis ont été reçus en dotation » est égale à 0,141.

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