sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-3}-{\displaystyle \frac{1}{x+4}}$.

partie a

1. La fonction f est dérivable sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, on note $f\prime$ sa fonction dérivée.
   Calculer $f\prime \left(x\right)$ pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

   $f={\mathrm{e}}^u-{\displaystyle \frac{1}{v}}$ avec $u\left(x\right)=x-3$ et $v\left(x\right)=x+4$. D'où $f\prime =u\prime {\mathrm{e}}^u-\left(-{\displaystyle \frac{v\prime }{v^2}}\right)$ (avec $u\prime \left(x\right)=1$ et $v\prime \left(x\right)=1$).

   Donc pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-3}+{\displaystyle \frac{1}{{\left(x+4\right)}^2}}$

   ---

2. En déduire que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

   Pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, ${\mathrm{e}}^{x-3}>0$ et ${\displaystyle \frac{1}{{\left(x+4\right)}^2}}>0$ donc par somme $f\prime \left(x\right)>0$.

   Ainsi, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)>0$ alors, la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ .

   ---

3. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

   • $\underset{x\to +\infty }{\lim }x-3=+\infty$ et $\underset{u\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^u=+\infty$ alors, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{x-3}=+\infty$.
   • $\underset{x\to +\infty }{\lim }x+4=+\infty$ et $\underset{v\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{v}}=0$ alors, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x+4}}=0$.

   ---

   Par somme $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

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4. 1. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

      $f\left(0\right)={\mathrm{e}}^{-3}-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ . Tableau de variation de f :

      x	0		$+\infty$
      Signe de f '		+
      Variations de f	${\mathrm{e}}^{-3}-{\displaystyle \frac{1}{4}}$		$+\infty$

      ---

   2. On admet qu'il existe un unique nombre réel positif α tel que $f\left(\alpha \right)=0$. Donner le signe de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

      Sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ la fonction f est strictement croissante donc :

      • Si $x<\alpha$ alors, $f\left(x\right)<f\left(\alpha \right)$ soit, $f\left(x\right)<0$.
      • Si $x>\alpha$ alors, $f\left(x\right)>f\left(\alpha \right)$ soit, $f\left(x\right)>0$.

      ---

      Si $x\in [0;\alpha [$, $f\left(x\right)<0$. Si $x\in ]\alpha ;+\infty [$, $f\left(x\right)>0$.

      ---

5. 1. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant (donner les valeurs décimales arrondies au dix-millième)

      x	1,32	1,325	1,33
      $f\left(x\right)$	$-\mathrm{0,0016}$	$-\mathrm{0,0005}$	0,0006

      ---

   2. En déduire la valeur décimale, arrondie au centième, du nombre α tel que $f\left(\alpha \right)=0$.

      Sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ , la fonction f est dérivable et strictement croissante avec $f\left(\mathrm{1,325}\right)>-\mathrm{0,0005}$ et $f\left(\mathrm{1,33}\right)<\mathrm{0,0006}$.  Donc d'après le théorème de la valeur intermédiaire : Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

      Il existe un unique nombre réel α tel que $f\left(\alpha \right)=0$ avec $\mathrm{1,325}<\alpha <\mathrm{1,33}$.

      L'arrondi au centième de α est 1,33.

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partie b

1. Soit g la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-3}-\ln \left(x+4\right)$.

   1. La fonction g est dérivable sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ . On note $g\prime$ sa fonction dérivée.
      Calculer $g\prime \left(x\right)$ pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

      $g={\mathrm{e}}^u-\ln v$ avec $u\left(x\right)=x-3$ et $v\left(x\right)=x+4$. D'où $g\prime =u\prime {\mathrm{e}}^u-{\displaystyle \frac{v\prime }{v}}$ (avec $u\prime \left(x\right)=1$ et $v\prime \left(x\right)=1$).

      Donc pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $g\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-3}-{\displaystyle \frac{1}{x+4}}$

      ---

   2. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ en utilisant les résultats de la partie A.

      Sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $g\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ par conséquent, l'étude du signe de la fonction f réalisée dans la partie A nous permet de déduire les variations de la fonction g :

      • Si $x\in [0;\alpha [$, $g\prime \left(x\right)<0$ alors, la fonction g est décroissante sur l'intervalle $[0;\alpha [$.
      • Si $x\in ]\alpha ;+\infty [$, $g\prime \left(x\right)>0$ alors, la fonction g est croissante sur l'intervalle $]\alpha ;+\infty [$.

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2. Calculer l'intégrale $I={\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.
   (Donner la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au centième).

   Dire que $g\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, signifie que g est une primitive de la fonction f sur $\left[0;+\infty \right[$.

   Par conséquent,$$\begin{array}{lll}I={\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& \iff & I={\displaystyle {\left[g\left(x\right)\right]}_0^3}\\ & \iff & I={\displaystyle {\left[{\mathrm{e}}^{x-3}-\ln \left(x+4\right)\right]}_0^3}\\ & \iff & I=\left({\mathrm{e}}^0-\ln 7\right)-\left({\mathrm{e}}^{-3}-\ln 4\right)\\ & \iff & I=1-{\mathrm{e}}^{-3}+\ln {\displaystyle \frac{4}{7}}\end{array}$$

   Ainsi $I=1-{\mathrm{e}}^{-3}+\ln {\displaystyle \frac{4}{7}}$ soit arrondi au centième $I=\mathrm{0,39}$

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