Baccalauréat juin 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans une région de France supposée démographiquement stable, on compte 190 milliers d'habitants qui se déplacent en voiture pour aller travailler : les uns se déplacent seuls dans leur voiture, les autres pratiquent le co-voiturage.
On admet que :

si une année un habitant pratique le co-voiturage, l'année suivante il se déplace seul dans sa voiture avec une probabilité égale à 0,6 ;
si une année un habitant se déplace seul dans sa voiture, l'année suivante il pratique le co-voiturage avec une probabilité égale à 0,35.

première partie

On note C l'état « pratiquer le co-voiturage » et V l'état « se déplacer seul dans sa voiture ».

Dessiner un graphe probabiliste de sommets C et V qui modélise la situation aléatoire décrite.

Il s'agit de représenter à l'aide d'un graphe, l'évolution au cours du temps d'un système pouvant être dans l'état C « pratiquer le co-voiturage » ou l'état V « se déplacer seul dans sa voiture ».

Or d'une année sur l'autre :
- si un habitant pratique le co-voiturage, l'année suivante il se déplace seul dans sa voiture avec une probabilité égale à 0,6 d'où $p_{C} (V) = 0,6$ et $p_{C} (C) = 1 - 0,6 = 0,4$ .
- si une année un habitant se déplace seul dans sa voiture, l'année suivante il pratique le co-voiturage avec une probabilité égale à 0,35 d'où $p_{V} (C) = 0,35$ et $p_{V} (V) = 1 - 0,35 = 0,65$ .
Le graphe probabiliste d'ordre 2 se présente de la manière suivante :
En considérant C et V dans cet ordre, en ligne, la matrice de transition associée à ce graphe est $M = (\begin{matrix} 0,40 & 0,60 \\ 0,35 & 0,65 \end{matrix})$ .
Vérifier que l'état stable du système correspond à la matrice ligne $(\begin{matrix} 70 & 120 \end{matrix})$ . En donner une interprétation.

Calculons $\begin{array}{l} (\begin{matrix} 70 & 120 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,40 & 0,60 \\ 0,35 & 0,65 \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} 70 \times 0,40 + 120 \times 0,35 & 70 \times 0,60 + 120 \times 0,65 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} 70 & 120 \end{matrix}) \end{array}$

$(\begin{matrix} 70 & 120 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,40 & 0,60 \\ 0,35 & 0,65 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 70 & 120 \end{matrix})$ donc l'état stable du système correspond à la matrice ligne $(\begin{matrix} 70 & 120 \end{matrix})$ . À long terme, 70 milliers d'habitants pratiqueront le co-voiturage et 120 milliers d'habitants se déplaceront seuls en voiture, pour aller travailler.

deuxième partie

En 2000, 60 milliers d'habitants pratiquaient le co-voiturage et 130 milliers d'habitants se déplaçaient seuls dans leur voiture.

On appelle $X_{n}$ (n entier naturel) le nombre de milliers d'habitants qui pratiquent le co-voiturage durant l'année $2000 + n$ . On a donc $X_{0} = 60$ .

On admet que pour tout entier naturel n, $X_{n + 1} = 0,05 X_{n} + 66,5$ .

On considère la suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ définie pour tout entier naturel n par $U_{n} = X_{n} - 70$ .

Prouver que la suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

Montrons qu'il existe un réel q tel que : $U_{n + 1} = q U_{n}$ pour tout entier n. (Voir la définition d'une suite géométrique.) Dire qu'une suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ .

Or $\begin{array}{l} U_{n + 1} & = & X_{n + 1} - 70 \\ = & 0,05 X_{n} + 66,5 - 70 \\ = & 0,05 X_{n} - 3,5 \\ = & 0,05 (X_{n} - 70) \\ = & 0,05 U_{n} \end{array}$

Ainsi, pour tout entier naturel n, $U_{n + 1} = 0,05 U_{n}$ , donc la suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est une suite géométrique. D'autre part, $\begin{array}{l} U_{0} & = & X_{0} - 70 \\ = & 60 - 70 \\ = & - 10 \end{array}$

La suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est une suite géométrique de raison 0,05 et de premier terme $U_{0} = - 10$
Montrer que pour tout entier naturel n, $X_{n} = 70 - 10 \times {0,05}^{n}$ .

${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est une suite géométrique de premier terme $U_{0} = - 10$ et de raison $q = 0,05$ alors d'après , la propriété des suites géométriques : Si ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est une suite géométrique de raison q, de premier terme $u_{0}$ alors, pour tout entier n : $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ et, plus généralement, pour tout entier $n ⩾ p$ : $u_{n} = u_{p} u^{n - p}$ avec $p \in ℕ$ .

pour tout entier naturel n, $U_{n} = - 10 \times {(0,05)}^{n}$

Or pour tout entier naturel n, $U_{n} = X_{n} - 70$ . Soit $X_{n} = U_{n} + 70$

Ainsi pour tout entier naturel n, $X_{n} = 70 - 10 \times {0,05}^{n}$ .

Est-il possible que, durant une année, le nombre d'habitants pratiquant le co-voiturage atteigne la moitié de la population de cette région ?

Existe-t-il un entier n solution de l'équation $X_{n} = \frac{190}{2}$ ?

$\begin{array}{l} X_{n} = \frac{190}{2} & \Leftrightarrow & 70 - 10 \times {0,05}^{n} = 95 \\ \Leftrightarrow & - 10 \times {0,05}^{n} = 25 \\ \Leftrightarrow & {0,05}^{n} = - 2,5 \end{array}$

Or pour tout réel x, ${0,05}^{n} > 0$ .

Il n'est pas possible que, durant une année, le nombre d'habitants pratiquant le co-voiturage atteigne la moitié de la population de cette région.

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