sujet : Asie

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

On considère la fonction u définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $u\left(x\right)={\displaystyle \frac{10-x}{x}}$.

1. Calculer les limites de u en 0 et en $+\infty$.

   • $\underset{x\to 0}{\lim }10-x=10$ et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x=0^{+}$ alors par quotient, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{10-x}{x}}=+\infty$

   • $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{10-x}{x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{-x}{x}}=-1$

   Ainsi, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }u\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }u\left(x\right)=-1$

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2. Étudier les variations de u.

   u est le quotient de deux fonctions dérivables sur $\left]0;+\infty \right[$ d'où :$$\begin{array}{cc}u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-1\times x-1\times \left(10-x\right)}{x^2}}={\displaystyle \frac{-10}{x^2}}& \text{Application de la formule : }{\left({\displaystyle \frac{u}{v}}\right)}^{\prime }={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}\end{array}$$

   Or pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, ${\displaystyle \frac{-10}{x^2}}<0$.

   Sur $\left]0;+\infty \right[$, $u\prime \left(x\right)<0$ donc la fonction u est strictement décroissante.

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3. On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$.

   1. Calculer les limites de f en 0 et en $+\infty$. Quelles conséquences graphiques peut-on en déduire ?

      • $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }u\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^X=+\infty$ alors par composition, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}=+\infty$

        Ainsi, $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ , par conséquent, la courbe représentative de la fonction f admet pour asymptote l'axe des ordonnées.

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      • $\underset{x\to +\infty }{\lim }u\left(x\right)=-1$ et $\underset{X\to -1}{\lim }{\mathrm{e}}^X={\mathrm{e}}^{-1}$ alors par composition, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}={\mathrm{e}}^{-1}$

        Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-1}$ alors, la droite d'équation $y={\mathrm{e}}^{-1}$ est asymptote à la courbe représentative de la fonction f en $+\infty$.

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   2. Établir, en justifiant, le tableau de variations de f.

      D'après le théorème du cours :

      Soit u une fonction définie sur un intervalle I. Les fonctions u et ${\mathrm{e}}^u$ ont les mêmes variations sur I.

      La fonction f est donc strictement décroissante. D'où son tableau de variation :

      x	0			$+\infty$
      $f\left(x\right)$		$+\infty$		${\mathrm{e}}^{-1}$

   3. Résoudre algébriquement l'équation $f\left(x\right)=1$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ : $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)=1& \iff & {\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}=1\\ & \iff & u\left(x\right)=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{10-x}{x}}=0\\ & \iff & x=10\end{array}$$

      L'équation $f\left(x\right)=1$ admet pour solution $x=10$

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   4. L'équation $f\left(x\right)=-x$ admet-elle une solution ? Pourquoi ?
      Toute tentative d'explication de la démarche ou de la méthode utilisée sera valorisée

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, ${\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}>0$ et $-x<0$

      Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\left(x\right)>-x$. Donc L'équation $f\left(x\right)=-x$ n'a pas de solution.

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