Baccalauréat juin 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Asie

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On considère la surface S d'équation z=y×ln(x)x appartient à l'intervalle [0,5;5] et y appartient l'intervalle [-3;5]. Cette surface S est représentée ci-dessous.

Les cinq questions sont indépendantes l'une de l'autre.

  1. On note P le plan d'équation x=3,5. Quelle est la nature de l'intersection de la surface S et du plan P ?

    Surface S, courbe de niveau x=3,5 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Les coordonnées de l'ensemble des points M(x;y;z) de l'intersection de la surface S et du plan P vérifient le système :{z=y×ln(x)x=3,5{z=y×ln3,5 Équation d'un plan parallèle à l'axe des abscisses x=3,5

    Ainsi, l'intersection de la surface S et du plan P est la droite caractérisée par le système {z=y×ln3,5x=3,5


  2. On désigne par C2 l'intersection de la surface S avec le plan d'équation y=2.

    Surface S, courbe de niveau y=2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Représenter la courbe C2 dans un repère orthonormal d'unité 2 cm.

    Les coordonnées de l'ensemble des points M(x;y;z) de la courbe C2 intersection de la surface S avec le plan d'équation y=2 vérifient le système :{z=y×ln(x)y=2{z=2lnxy=2

    Dans le plan d'équation y=2, muni d'un repère, la courbe C2 a pour équation z=2lnx

    Courbe de niveau y=2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Placer sur la surface S le point A d'abscisse 2 et d'ordonnée 4. Calculer sa cote.

    Surface S, point A : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    La cote du point A est zA=4ln2

    Les coordonnées du point A sont A(2;4;4ln2)


  4. Lire les coordonnées du point B situé sur la surface S.

    Surface S, coordonnées du point B : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Le point B semble être à l'intersection des lignes de niveau intersections de la surface S avec respectivement les plans d'équation x=4,5, y=2 et z=3.

    Or 2ln4,53,008 . Avec la précision permise par le dessin, on ne peut donner que les valeurs approchées à l'unité des coordonnées du point B.

    Arrondies à l'unité, les coordonnées du point B sont B(4,5;2;3)


  5. On considère la section C de la surface S par le plan d'équation z=1.

    Surface S, point D : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Calculer l'ordonnée du point D d'abscisse 4 situé sur la section C. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10−1 près. Placer le point D sur la surface S.

      D(4;y;z) est un point de la section C de la surface S par le plan d'équation z=1 . Ses coordonnées vérifient le système d'équation caractérisant la section C d'où : {z=y×ln4z=1{y=1ln4z=1

      L'ordonnée du point D est yD=1ln4. Soit arrondie à 10−1 près, yD0,7


    2. Arthur pense que la nature de la section C est un morceau de parabole. A-t-il raison? Pourquoi ?

      Les coordonnées de l'ensemble des points M(x;y;z) de la section C de la surface S par le plan d'équation z=1 vérifient le système :{z=y×ln(x)z=1{1=y×ln(x)z=1

      Dans le plan d'équation z=1, muni d'un repère, la section C a pour équation y×lnx=1 . Soit pour tout réel x1, y=1lnx

      Dans le plan d'équation z=1, l'expression de y en fonction de x n'est pas une fonction polynôme du second degré, donc Arthur a tort.



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