sujet : Asie

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Représenter sur votre copie le nuage de points associé à la série $\left(x_i;y_i\right)$ dans un repère orthogonal (1 cm représente 1 rang en abscisse et 5 cm représentent 1 € en ordonnée faire débuter la graduation à 6 sur l'axe des ordonnées).

2. À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients à 10⁻² près).
   Tracer cette droite dans le repère précédent.

   Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : $$y=\mathrm{0,32}x+\mathrm{6,29}$$ (les coefficients sont arrondis à 10⁻² près)

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3. La forme du nuage suggère une modification de l'évolution du SMIC horaire brut à partir de juillet 2004. Pour $x⩾4$, on choisit d'ajuster le nuage de points par une courbe C d'équation $$y=a\ln \left(x-3\right)+b$$ où a, et b sont deux réels. Déterminer les réels a et b tels que la courbe C passe par les points de coordonnées $\left(4;\mathrm{7,61}\right)$ et $\left(7;\mathrm{8,44}\right)$ (arrondir les réels a et b à 10⁻²).
   Tracer la courbe C dans le repère précédent.

   La courbe C passe par les points de coordonnées $\left(4;\mathrm{7,61}\right)$ et $\left(7;\mathrm{8,44}\right)$ alors les réels a et b sont solutions du système : $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{lll}a\ln \left(4-3\right)+b& =& \mathrm{7,61}\\ a\ln \left(7-3\right)+b& =& \mathrm{8,44}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}b& =& \mathrm{7,61}\\ a\ln 4+b& =& \mathrm{8,44}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}b& =& \mathrm{7,61}\\ a& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{8,44}-\mathrm{7,61}}{\ln 4}}\approx \mathrm{0,599}\end{array}\end{array}$$

   La courbe C a pour équation $y=\mathrm{0,6}\ln \left(x-3\right)+\mathrm{7,61}$

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4. Arthur est un jeune salarié, rémunéré au SMIC. Il souhaite estimer la valeur du SMIC au 1^er juillet 2009. Quel est, parmi les modèles utilisés aux questions 2 et 3, celui qui lui sera le plus favorable ?

   Le rang au 1^er juillet 2009 est 9

   • Avec l'ajustement affine, on obtient une estimation du SMIC horaire de $$\mathrm{0,32}\times 9+\mathrm{6,29}=\mathrm{9,17}$$
   • Avec le deuxième ajustement, l'estimation du SMIC horaire est de $$\mathrm{0,6}\times \ln 6+\mathrm{7,61}\approx \mathrm{8,685}$$

   C'est le premier modèle qui lui sera plus favorable.

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   Remarque :

   Arthur devrait chercher le modèle qui est le plus pertinent.

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