Baccalauréat juin 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Centres Étrangers

indications pour l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Une association organise chaque année un séjour qui s'adresse à des adultes handicapés. À sa création en 1997, dix adultes handicapés sont partis durant cinq jours. Ainsi, on dira qu'en 1997 le nombre de «journées participant» est de 5 × 10 soit 50.
Le tableau suivant donne le nombre de «journées participant» de 1997 à 2004. L'année 1997 a le rang 0.

Années	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Rang de l'année $x_{i}$	0	1	2	3	4	5	6	7
Nombre de «journées participant» $y_{i}$	50	130	200	240	250	280	300	320

Calculer le pourcentage d'augmentation du nombre de « journées participant » de 1997 à 2000, puis celui de 2000 à 2003.
Ces données sont représentées par le nuage de points ci-joint.
On considère qu'un ajustement affine n'est pas pertinent.
L'allure du nuage suggère de chercher un ajustement de y en x de la forme $y = k \ln (a x + b)$ où k, a et b sont trois nombres réels. Pour cela on pose : $z_{i} = e^{\frac{y_{i}}{100}}$ .
Dans cette question les calculs seront effectués à la calculatrice. Aucune justification n'est demandée. Les résultats seront arrondis au centième.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :
  Rang de l'année $x_{i}$ 0 1 2 3 4 5 6 7
  Nombre de «journées participant» $y_{i}$ 50 130 200 240 250 280 300 320
  $z_{i} = e^{\frac{y_{i}}{100}}$ 1,65
2. Représenter le nuage de points associés à la série $(x_{i}; z_{i})$ dans un repère orthonormal (unités : 1 cm)
3. Donner les coordonnées du point moyen et placer ce point sur le graphique précédent.
4. Déterminer une équation de la droite (D) d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés. Représenter la droite (D) sur le graphique précédent.
5. Sachant que $z_{i} = e^{\frac{y_{i}}{100}}$ , déterminer l'expression de y en fonction de x.
  Pour tout réel y : $\begin{matrix} z = e^{y} & \Leftrightarrow & y = \ln z \end{matrix}$
On suppose que l'évolution du nombre de «journées participant» se poursuit dans un futur proche selon le modèle précédent.
1. Estimer, à l'unité prés, quel serait le nombre de «journées participant» prévu pour l'année 2007.
2. En réalité, le nombre de «journées participant» en 2007 a été de 390. Si l'écart en valeur absolue entre la valeur estimée et la valeur réelle est inférieur à 10 % de la valeur réelle, on considère que le modèle est pertinent. Est-ce le cas ?

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Rang de l'année $x_{i}$	0	1	2	3	4	5	6	7
Nombre de «journées participant» $y_{i}$	50	130	200	240	250	280	300	320
$z_{i} = e^{\frac{y_{i}}{100}}$	1,65