sujet : Centres Étrangers

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un magasin de sport propose à la location des skis de piste, des snowboards et des skis de randonnée.
Son matériel est constitué de 50% de skis de piste, le reste étant également réparti entre les snowboards et les skis de randonnée.
Après la journée de location, le matériel est contrôlé et éventuellement réparé.
Il a été constaté que la moitié des skis de piste, deux tiers des snowboards et le quart des ski de randonnée nécessitent une réparation.
Chaque paire de ski et chaque snowboard est répertorié sur une fiche qui précise son suivi.
On tire au hasard une fiche. On considère les évènements suivants :

• ${\mathrm{S}}_{\mathrm{p}}$ : « La fiche est celle d'une paire de ski de piste » ;
• ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}$ : « La fiche est celle d'un snowboard » ;
• ${\mathrm{S}}_{\mathrm{r}}$ : « La fiche est celle d'une paire de ski de randonnée » ;
• R : « Le matériel nécessite une réparation » ; $\overline{\mathrm{R}}$ est son évènement contraire.

Tous les résultats des quatre premières questions seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1. Traduire toutes les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré (on ne demande aucune explication).

   • Le matériel est constitué de 50% de skis de piste, le reste étant également réparti entre les snowboards et les skis de randonnée d'où :$$\begin{array}{ccc}p\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{p}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{et}& p\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}\right)=p\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{r}}\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$
   • La moitié des skis de piste, deux tiers des snowboards et le quart des ski de randonnée nécessitent une réparation d'où : $$\begin{array}{ccccc}{p}_{{\mathrm{S}}_{\mathrm{p}}}\left(\mathrm{R}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{;}& p_{{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}}\left(\mathrm{R}\right)={\displaystyle \frac{2}{3}}& \text{;}& p_{{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}}}\left(\mathrm{R}\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$

   D'où l'arbre pondéré représentant la situation, complété à l'aide de la règle des nœuds Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1.:

2. Calculer la probabilité que la fiche tirée concerne une paire de ski de piste ne nécessitant pas une réparation.

   La probabilité que la fiche tirée concerne une paire de ski de piste ne nécessitant pas une réparation est : $$\begin{array}{lll}p\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{p}}\cap \overline{\mathrm{R}}\right)& =& p_{{\mathrm{S}}_{\mathrm{p}}}\left(\overline{\mathrm{R}}\right)\times p\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{p}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$

   La probabilité que la fiche tirée concerne une paire de ski de piste ne nécessitant pas une réparation est égale à ${\displaystyle \frac{1}{4}}$.

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3. Calculer la probabilité que la fiche tirée concerne du matériel ne nécessitant pas une réparation.

   Les évènements ${\mathrm{S}}_{\mathrm{p}}$, ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}$ et ${\mathrm{S}}_{\mathrm{r}}$ déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{lll}p\left(\overline{\mathrm{R}}\right)& =& p\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{p}}\cap \overline{\mathrm{R}}\right)+p\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}\cap \overline{\mathrm{R}}\right)+p\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{r}}\cap \overline{\mathrm{R}}\right)\\ & =& p\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{p}}\cap \overline{\mathrm{R}}\right)+p_{{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}}\left(\overline{\mathrm{R}}\right)\times p\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}\right)+p_{{\mathrm{S}}_{\mathrm{r}}}\left(\overline{\mathrm{R}}\right)\times p\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{r}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{25}{48}}\end{array}$$

   La probabilité que la fiche tirée concerne du matériel ne nécessitant pas une réparation est égale à ${\displaystyle \frac{25}{48}}$.

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4. La fiche tirée concerne du matériel ayant nécessité une réparation. Quelle est la probabilité que cette fiche concerne un snowboard ?

   Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}$ sachant que l'évènement R est réalisé : $$\begin{array}{lll}{p}_{\mathrm{R}}\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}\cap \mathrm{R}\right)}{p\left(\mathrm{R}\right)}}\end{array}$$

   Or $$\begin{array}{llll}& p\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}\cap \mathrm{R}\right)=p_{{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}}\left(\mathrm{R}\right)\times p\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}\right)& \text{et}& p\left(\mathrm{R}\right)=1-p\left(\overline{\mathrm{R}}\right)\\ \text{Soit}& p\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}\cap \mathrm{R}\right)={\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{2}{12}}& \text{et}& p\left(\mathrm{R}\right)=1-{\displaystyle \frac{25}{48}}={\displaystyle \frac{23}{48}}\end{array}$$

   D'où $$\begin{array}{lll}{p}_{\mathrm{R}}\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}\cap \mathrm{R}\right)}{p\left(\mathrm{R}\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{12}}\times {\displaystyle \frac{48}{23}}\\ & =& {\displaystyle \frac{8}{23}}\end{array}$$

   ${\displaystyle \frac{8}{23}}$ des fiches concernant du matériel ayant nécessité une réparation, concernent un snowboard.

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5. Les paires de ski de piste de randonnée, ainsi que les snowboards sont loués 30 € pour la journée.
   Quelle est l'espérance de gain sur le matériel loué sachant que chaque réparation coûte 20 € au loueur ?

   Le loueur gagne 30 € si la paire de ski ne nécessite pas de réparation et 10 € dans le cas contraire.

   La loi de probabilité associée au gain G du loueur est donc :

   G	10	30
   $p\left(G\right)$	${\displaystyle \frac{23}{48}}$	${\displaystyle \frac{25}{48}}$

   L'espérance mathématique du gain du loueur est : $$\begin{array}{cc}\mu =10\times {\displaystyle \frac{23}{48}}+30\times {\displaystyle \frac{25}{48}}={\displaystyle \frac{245}{12}}& \approx \mathrm{20,42}\end{array}$$

   Le loueur gagne en moyenne 20,42 € sur une paire de ski louée.

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