Baccalauréat juin 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Centres Étrangers

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans un village, l'association de gymnastique volontaire possédait 50 adhérents en 2000.
Depuis cette date, la trésorière a remarqué que chaque année elle reçoit 18 nouvelles adhésions et que 85 % des anciens inscrits renouvellent leur adhésion.
On note $a_{n}$ le nombre d'adhérents pour l'année 2000 + n ; on a donc $a_{0} = 50$ et $a_{n + 1} = 0,85 a_{n} + 18$ pour tout entier naturel n.

Soit la suite $(u_{n})$ définie par $u_{n} = a_{n} - 120$ pour tout $n ⩾ 0$ .
1. Montrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
  Pour tout $n ⩾ 0$ , $\begin{array}{l} u_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 120 \\ = & (0,85 a_{n} + 18) - 120 \\ = & 0,85 a_{n} - 102 \\ = & 0,85 (a_{n} - 120) \\ = & 0,85 u_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,85 u_{n}$ . Donc la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,85.
  Le terme initial de la suite $(u_{n})$ est : $u_{0} = a_{0} - 120 = 50 - 120 = - 70$
  La suite $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,85 et de premier terme − 70.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, $a_{n} = 120 - 70 \times {0,85}^{n}$ .
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,85 et de premier terme − 70, alors pour tout entier naturel n, $u_{n} = (- 70) \times {0,85}^{n}$
  Soit pour tout entier naturel n, $\begin{matrix} a_{n} - 120 = (- 70) \times {0,85}^{n} & \Leftrightarrow & a_{n} = 120 - 70 \times {0,85}^{n} \end{matrix}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $a_{n} = 120 - 70 \times {0,85}^{n}$ .
3. Déterminer la limite de la suite $(a_{n})$ quand n tend vers l'infini, interpréter ce résultat.
  Étudions la limite en $+ \infty$ de la fonction f définie sur $[0; + \infty [$ par $f (x) = 120 - 70 \times {0,85}^{x}$
  $0,85 < 1$ donc $\lim_{x \to + \infty} {0,85}^{x} = 0$ et $\lim_{x \to + \infty} 120 - 70 \times {0,85}^{x} = 120$
  La limite de la suite $(a_{n})$ quand n tend vers l'infini est égale à 120. Ce qui signifie, qu'à long terme, le nombre d'adhérents de l'association stagnera autour de 120.
Chaque semaine 60% des adhérents s'inscrivent pour une heure de gymnastique et 40% pour deux heures de gymnastique.
1. Exprimer en fonction de n le nombre d'heures de gymnastique à prévoir par semaine pour l'année 2000 + n.
  Le nombre d'adhérents pour l'année 2000 + n est $a_{n}$
  Chaque semaine 60% des adhérents s'inscrivent pour une heure de gymnastique et 40% pour deux heures de gymnastique alors le nombre d'heures $h_{n}$ de gymnastique à prévoir par semaine pour l'année 2000 + n est : $\begin{array}{l} h_{n} = 0,6 \times a_{n} + 2 \times 0,4 \times a_{n} = 1,4 \times a_{n} \\ Soit & h_{n} = 1,4 \times (120 - 70 \times {0,85}^{n}) \\ \Leftrightarrow & h_{n} = 168 - 98 \times {0,85}^{n} \end{array}$
  Le nombre d'heures de gymnastique à prévoir par semaine pour l'année 2000 + n est $h_{n} = 168 - 98 \times {0,85}^{n}$
2. Une séance de gymnastique dure une heure et est limitée à 20 personnes. On veut déterminer à partir de quelle année l'association devra prévoir plus de 8 séances par semaine. Démontrer qu'alors n doit vérifier l'inéquation $98 \times {0,85}^{n} < 8$ . Résoudre cette inéquation et conclure.
  Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
  Le nombre d'heures de gymnastique à prévoir par semaine pour l'année 2000 + n est $168 - 98 \times {0,85}^{n}$ . Donc le nombre de séances qu'il faut prévoir sachant qu'une séance de gymnastique dure une heure et est limitée à 20 personnes est égal à : $\frac{168 - 98 \times {0,85}^{n}}{20}$
  Ainsi, l'année 2000 + n à partir de laquelle l'association devra prévoir plus de 8 séances par semaine, est obtenue pour le plus petit entier n solution de l'inéquation : $\begin{array}{l} \frac{168 - 98 \times {0,85}^{n}}{20} > 8 & \Leftrightarrow & 168 - 98 \times {0,85}^{n} > 160 \\ \Leftrightarrow & - 98 \times {0,85}^{n} > - 8 \\ \Leftrightarrow & 98 \times {0,85}^{n} < 8 \\ \Leftrightarrow & {0,85}^{n} < \frac{8}{98} \\ \Leftrightarrow & n \ln 0,85 < \ln \frac{8}{98} & (la fonction \ln est croissante) \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln \frac{8}{98}}{\ln 0,85} & (\ln 0,85 < 0) \end{array}$
  Comme $\frac{\ln \frac{8}{98}}{\ln 0,85} \approx 15,4$ , le plus petit le plus petit entier $n > \frac{\ln \frac{8}{98}}{\ln 0,85}$ est $n = 16$ .
  L'association devra prévoir plus de 8 séances par semaine à partir de 2016.

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