sujet : Centres Étrangers

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur $\left]-1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=-3x+4+8\ln \left(x+1\right)$.
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1. 1. Calculer la limite de f en −1. Donner l'interprétation graphique du résultat obtenu.

      $\underset{x\to -1}{\lim }x+1=0$ et $\underset{X\to 0}{\lim }\ln X=-\infty$ alors par composition, $\underset{x\to -1}{\lim }\ln \left(x+1\right)=-\infty$. Donc $\underset{x\to -1}{\lim }-3x+4+8\ln \left(x+1\right)=-\infty$.

      Ainsi, $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ alors, la courbe (C) admet pour asymptote la droite d'équation $x=-1$.

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   2. Déterminer la limite de f en $+\infty$ (on pourra utiliser $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln \left(x+1\right)}{x}}=0$).

      Pour tout réel $x\ne 0$, $$\begin{array}{ccc}-3x+4+8\ln \left(x+1\right)& =& x\left(-3+{\displaystyle \frac{4}{x}}+{\displaystyle \frac{8\ln \left(x+1\right)}{x}}\right)\end{array}$$

      Or $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln \left(x+1\right)}{x}}=0$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }-3+{\displaystyle \frac{4}{x}}+{\displaystyle \frac{8\ln \left(x+1\right)}{x}}=-3$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(-3+{\displaystyle \frac{4}{x}}+{\displaystyle \frac{8\ln \left(x+1\right)}{x}}\right)=-\infty$

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

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2. 1. On note $f\prime$ la dérivée de f sur $\left]-1;+\infty \right[$. Démontrer que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{5-3x}{x+1}}$.

      Sur $\left]-1;+\infty \right[$f est dérivable et $$\begin{array}{ccccccc}f\prime \left(x\right)& =& -3+{\displaystyle \frac{8}{x+1}}& =& {\displaystyle \frac{-3\left(x+1\right)+8}{x+1}}& =& {\displaystyle \frac{5-3x}{x+1}}\end{array}$$

      $f\prime$ est la fonction définie sur $\left]-1;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{5-3x}{x+1}}$.

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   2. Étudier le signe de $f\prime$ et dresser le tableau de variations de f . On donnera une valeur arrondie au dixième du maximum de f sur $\left]-1;+\infty \right[$.

      $5-3x>0\iff x<{\displaystyle \frac{5}{3}}$. Nous pouvons en déduire le signe de $f\prime \left(x\right)$ ainsi que le tableau des variations de f

      x	− 1			${\displaystyle \frac{5}{3}}$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$		$-\infty$		6,8		$-\infty$

      Calcul du maximum

      D'après le tableau des variations, f admet un maximum atteint pour $x={\displaystyle \frac{5}{3}}$ et $$f\left({\displaystyle \frac{5}{3}}\right)=-3\times {\displaystyle \frac{5}{3}}+4+8\ln \left({\displaystyle \frac{5}{3}}+1\right)=8\ln \left({\displaystyle \frac{8}{3}}\right)-1\approx \mathrm{6,8}$$

3. On se place dans l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{5}{3}};+\infty \right[$. Démontrer que dans cet intervalle, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique notée $x_0$. Donner une valeur approchée de $x_0$ à ${10}^{-2}$ près.

   Sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{5}{3}};+\infty \right[$ , la fonction f est continue, strictement décroissante à valeurs dans $\left]-\infty ;8\ln \left({\displaystyle \frac{8}{3}}\right)-1\right]$.

   Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$., l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique $x_0\in \left[{\displaystyle \frac{5}{3}};+\infty \right[$.

   À l'aide de la calculatrice, par encadrements successifs, déterminons une valeur approchée de $x_0$ :

   • $f\left(6\right)\approx \mathrm{1,567}$ et $f\left(7\right)\approx -\mathrm{0,364}$ donc $6<x_0<7$
   • $f\left(\mathrm{6,8}\right)\approx \mathrm{0,033}$ et $f\left(\mathrm{6,9}\right)\approx -\mathrm{0,165}$ donc $\mathrm{6,8}<x_0<\mathrm{6,9}$
   • $f\left(\mathrm{6,81}\right)\approx \mathrm{0,013}$ et $f\left(\mathrm{6,82}\right)\approx -\mathrm{0,007}$ donc $\mathrm{6,81}<x_0<\mathrm{6,82}$
   • $f\left(\mathrm{6,816}\right)\approx \mathrm{0,001}$ et $f\left(\mathrm{6,817}\right)\approx -\mathrm{0,0006}$ donc $\mathrm{6,816}<x_0<\mathrm{6,817}$

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   L'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique $x_0$ dans l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{5}{3}};+\infty \right[$ . Arrondie à ${10}^{-2}$ près, $x_0\approx \mathrm{6,82}$.

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4. 1. Vérifier que la fonction F définie par $F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-4x+8\left(x+1\right)\ln \left(x+1\right)$ est une primitive de f sur $\left]-1;+\infty \right[$.

      Soit g la fonction définie sur $\left]-1;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=\left(x+1\right)\ln \left(x+1\right)$.

      $g=uv$ avec $$\begin{array}{lll}u\left(x\right)=x+1& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=1\\ v\left(x\right)=\ln \left(x+1\right)& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x+1}}\end{array}$$

      $g\prime =u\prime v+uv\prime$ soit $$\begin{array}{ccccc}g\prime \left(x\right)& =& 1\times \ln \left(x+1\right)+\left(x+1\right)\times {\displaystyle \frac{1}{x+1}}& =& \ln \left(x+1\right)+1\end{array}$$

      Déterminons une expression de la dérivée de la fonction F définie par $F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-4x+8\left(x+1\right)\ln \left(x+1\right)$ :$$\begin{array}{ccccc}F\prime \left(x\right)& =& -{\displaystyle \frac{3}{2}}\times 2x-4+8\times \left(\ln \left(x+1\right)+1\right)& =& -3x+4+8\ln \left(x+1\right)\end{array}$$

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Par conséquent, la fonction F définie par $F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-4x+8\left(x+1\right)\ln \left(x+1\right)$ est une primitive de f sur $\left]-1;+\infty \right[$.

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   2. Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=5$ (on donnera la valeur exacte de cette aire et une valeur approchée au dixième près).

      La fonction f est dérivable donc continue. D'autre part, $$f\left(0\right)=4+8\ln \left(1\right)=4$$ donc d'après l'étude des variations de la fonction f, f est positive sur l'intervalle $\left[4;x_0\right]$.

      Ainsi, la fonction f est continue et positive sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire :Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

      L'aire, en unités d'aire, du domaine limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=5$ est égale à ${\displaystyle {\int }_0^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_0^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[F\left(x\right)\right]}_0^5}\\ & =& F\left(5\right)-F\left(0\right)\\ & =& \left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\times 25-20+8\times 6\times \ln 6\right)-\left(8\ln 1\right)\\ & =& -{\displaystyle \frac{115}{2}}+48\ln 6\\ & \approx & \mathrm{28,5}\end{array}$$

      L'aire du domaine limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=5$ est égale à $\left(48\ln 6-\mathrm{57,5}\right)$ unités d'aire. Soit arrondie au dixième près 28,5 unités d'aire.

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