D'une année sur l'autre, un produit perd 10% de sa valeur. Le produit a perdu au moins 70% de sa valeur initiale au bout de :

Le coefficient multiplicateur associé à une baisse annuelle de 10% est 0,9.
Au bout de n années le coefficient multiplicateur associé à la variation en pourcentage du prix du produit est ${\mathrm{0,9}}^n$.

Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 70% est 0,3. Donc n est le plus petit entier tel que : $$\begin{array}{llll}{\mathrm{0,9}}^n⩽\mathrm{0,3}& \iff & n\ln \mathrm{0,9}⩽\ln \mathrm{0,3}& \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,3}}{\ln \mathrm{0,9}}}& (\ln \mathrm{0,9}<0)\end{array}$$

Or ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,3}}{\ln \mathrm{0,9}}}\approx \mathrm{11,4}$ donc $n=12$

Dans une expérience aléatoire, la probabilité d'un évènement A est égale à 0,4. On répète huit fois cette expérience de façon indépendante. La probabilité que l'évènement A se réalise au moins une fois est égale à :

Si on répète huit fois cette expérience de façon indépendante, alors la loi de probabilité associée au nombre de réalisation de l'évènemant A est une loi binomiale de paramètres 0,4 et 8.

L'évènement «A se réalise au moins une fois» est l'évènement contraire de l'évènement «$\overline{\mathrm{A}}$ se réalise huit fois»

La probabilité p de l'évènement «A se réalise au moins une fois» est :$$p=1-{\left(\mathrm{0,6}\right)}^8$$

1. ${\left(\mathrm{0,4}\right)}^8$
2. ${\left(\mathrm{0,6}\right)}^8$

3. $1-{\left(\mathrm{0,6}\right)}^8$

F est la primitive qui s'annule en 1 de la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^2+1$. On a :

F est définie sur $ℝ$ par $$F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x+c$$

Or $$\begin{array}{lllll}F\left(1\right)=0& \iff & {\displaystyle \frac{1}{3}}+1+c=0& \iff & c=-{\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}$$

Ainsi, F est définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x-{\displaystyle \frac{4}{3}}$ d'où$$F\left(0\right)=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$$

1. $F\left(0\right)=1$

2. $F\left(0\right)=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$

3. $F\left(0\right)={\displaystyle \frac{4}{3}}$

f est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{3x}$. On appelle (C) la courbe représentative de f dans un repère.
La tangente (T) à la courbe (C) au point A d'abscisse 0 a pour coefficient directeur :

Le coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe (C) au point A d'abscisse 0 est égal au nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$. Or $$f\prime \left(x\right)=3{\mathrm{e}}^{3x}\Rightarrow f\prime \left(0\right)=3\times {\mathrm{e}}^0=3$$

1. 0
2. 1

3. 3

On peut affirmer que :

Sur l'intervalle $\left]-2;3\right[$, la fonction f est strictement croissante. Donc $$\begin{array}{ccc}f\left(0\right)<f\left(2\right)& \text{Soit}& f\left(0\right)<0\end{array}$$

La courbe (C) admet pour asymptote la droite d'équation :

$\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ donc la droite d'équation $x=3$ est asymptote à la courbe (C).

1. $x=0$

2. $x=3$

3. $y=3$

g est la fonction définie par $g\left(x\right)=\ln \left[f\left(x\right)\right]$ sur l'intervalle $\left]-\infty ;-3\right[$.
La limite de g en $-\infty$ :

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }\ln X=+\infty$ alors, par composition, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\ln \left[f\left(x\right)\right]=+\infty$

1. est $-\infty$

2. est $+\infty$

3. n'existe pas

F désigne une primitive de f sur $\left]-\infty ;3\right[$. F est :

Dire que F est une primitive de f signifie que pour tout réel x de l'intervalle $\left]-\infty ;3\right[$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Par conséquent, les variations de F se déduisent du signe de f sur $\left]-\infty ;3\right[$.

Or $f\left(x\right)<0$ pour $-3<x<2$. Donc F est strictement décroissante sur $\left]-3;2\right[$

1. strictement décroissante sur $\left]-\infty ;-3\right[$

2. strictement décroissante sur $\left]-3;2\right[$

3. strictement croissante sur $\left]-\infty ;3\right[$