sujet : Centres Étrangers

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur $\left]-1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=-3x+4+8\ln \left(x+1\right)$.
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1. 1. Calculer la limite de f en −1. Donner l'interprétation graphique du résultat obtenu.

   2. Déterminer la limite de f en $+\infty$ (on pourra utiliser $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln \left(x+1\right)}{x}}=0$).

2. 1. On note $f\prime$ la dérivée de f sur $\left]-1;+\infty \right[$. Démontrer que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{5-3x}{x+1}}$.

   2. Étudier le signe de $f\prime$ et dresser le tableau de variations de f . On donnera une valeur arrondie au dixième du maximum de f sur $\left]-1;+\infty \right[$.

3. On se place dans l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{5}{3}};+\infty \right[$. Démontrer que dans cet intervalle, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique notée $x_0$. Donner une valeur approchée de $x_0$ à ${10}^{-2}$ près.

   théorème de la valeur intermédiaire

   Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

4. 1. Vérifier que la fonction F définie par $F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-4x+8\left(x+1\right)\ln \left(x+1\right)$ est une primitive de f sur $\left]-1;+\infty \right[$.

      Vérifier que $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$

   2. Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=5$ (on donnera la valeur exacte de cette aire et une valeur approchée au dixième près).

      lien entre l'intégrale et aire

      Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

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