Baccalauréat juin 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Centres Étrangers

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans un village, l'association de gymnastique volontaire possédait 50 adhérents en 2000.
Depuis cette date, la trésorière a remarqué que chaque année elle reçoit 18 nouvelles adhésions et que 85 % des anciens inscrits renouvellent leur adhésion.
On note an le nombre d'adhérents pour l'année 2000 + n ; on a donc a0=50 et an+1=0,85an+18 pour tout entier naturel n.

  1. Soit la suite (un) définie par un=an-120 pour tout n0.

    1. Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

    2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, an=120-70×0,85n.

    3. Déterminer la limite de la suite (an) quand n tend vers l'infini, interpréter ce résultat.

  2. Chaque semaine 60% des adhérents s'inscrivent pour une heure de gymnastique et 40% pour deux heures de gymnastique.

    1. Exprimer en fonction de n le nombre d'heures de gymnastique à prévoir par semaine pour l'année 2000 + n.

      Le nombre d'adhérents pour l'année 2000 + n  est an. Chaque semaine 60% des adhérents s'inscrivent pour une heure de gymnastique et 40% pour deux heures de gymnastique alors le nombre d'heures de gymnastique hn à prévoir par semaine pour l'année 2000 + n est :hn=0,6×an+2×0,4×an

    2. Une séance de gymnastique dure une heure et est limitée à 20 personnes. On veut déterminer à partir de quelle année l'association devra prévoir plus de 8 séances par semaine. Démontrer qu'alors n doit vérifier l'inéquation 98×0,85n<8.

      hn20>8

      Résoudre cette inéquation et conclure.

      Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.


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