sujet : Polynésie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte ou une question sans réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.

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1. ${\mathrm{e}}^{-2\ln 3}$ est égale à :

   $$\begin{array}{ccccccc}{\mathrm{e}}^{-2\ln 3}& =& {\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^{2\ln 3}}}& =& {\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^{\ln 9}}}& =& {\displaystyle \frac{1}{9}}\end{array}$$

   ${\displaystyle \frac{2}{3}}$

   ${\displaystyle \frac{1}{9}}$

   9

2. L'ensemble des solutions dans $ℝ$ de l'inéquation ${\mathrm{e}}^{3x}-1⩾0$ est l'intervalle :

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccccccc}{\mathrm{e}}^{3x}-1⩾0& \iff & {\mathrm{e}}^{3x}⩾1& \iff & 3x⩾0& \iff & x⩾0\end{array}$$

   $\left[0;+\infty \right[$

   $\left[1;+\infty \right[$

   $\left[{\displaystyle \frac{1}{3}};+\infty \right[$

3. Une primitive de la fonction f définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\ln x+1$ est :

   Dire que F est une primitive de f sur $\left]0;+\infty \right[$ signifie que pour tout réel x strictement positif, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ la fonction $F:x⟼x\ln x$ est dérivable et de la forme $uv$ sa dérivée est donc de la forme $u\prime v+uv\prime$ avec :$$\begin{array}{ccccccc}u\left(x\right)=x& ;& u\prime \left(x\right)=1& ;& v\left(x\right)=\ln x& ;& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\end{array}$$

   Par conséquent, $$\begin{array}{lllllll}F\prime \left(x\right)& =& 1\times \ln x+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}& =& \ln x+1& =& f\left(x\right)\end{array}$$

   $x⟼x\ln x+x$

   $x⟼x\ln x$

   $x⟼{\displaystyle \frac{1}{x}}$

4. Le prix TTC (toutes taxes comprises) d'un article est 299 €. Sachant que le taux de la TVA est de 19,6%, son prix HT (hors taxes) est :

   Le coefficient multiplicateur associé à une TVA de 19,6% est $$1+{\displaystyle \frac{\mathrm{19,6}}{100}}=\mathrm{1,196}$$

   Soit x le montant en euros du prix HT de l'article alors , x est solution de : $$\begin{array}{ccc}\mathrm{1,196}x=299& \iff & x={\displaystyle \frac{299}{\mathrm{1,196}}}=250\end{array}$$

   240,40 €

   250 €

   279,40 €

5. Lors d'une expérience aléatoire, on considère deux événements indépendants A et B tels que $\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)=\mathrm{0,6}$ et $\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)=\mathrm{0,2}$. On a alors :

   A et B sont deux évènements d'une même expérience aléatoire, alors $$\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)-\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right)$$

   Or les évènements A et B sont indépendants donc :$$\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)\times \mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)$$

   Il s'ensuit que $$\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)=\mathrm{0,6}+\mathrm{0,2}-\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,68}$$

   $\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)=\mathrm{0,8}$

   $\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)=\mathrm{0,68}$

   $\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)=\mathrm{0,92}$

6. ${\left(U_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique telle que : $U_0=2$ et $U_8=32$ . Sa raison est égale à :

   Dire que ${\left(U_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de terme initial $U_0=2$ et de raison qsignifie que pour tout entier n, $$U_n=2q^n$$

   $U_8=32$ d'où q est solution de $$\begin{array}{ccccc}2q^8=32& \iff & q^8=16& \iff & q={\left(2^4\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{8}}}=2^{{\displaystyle \frac{4}{8}}}=\sqrt{2}\end{array}$$

   $\sqrt{2}$

   2

   4

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