Baccalauréat Septembre 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'ensemble des nombres réels par f(x)=ex-1+x-1. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal (O;𝚤,𝚥) d'unité graphique 1 cm.

partie a

  1. Calculer f(0) et f(1). On donnera les valeurs exactes.

    1. Calculer la limite de f en -.

    2. Montrer que la droite D d'équation y=x-1 est asymptote oblique à la courbe C.

  2. Calculer la limite de f en +.

partie b

    1. On note f la fonction dérivée de f. Calculer f(x) pour tout x réel et étudier son signe sur .

    2. Dresser le tableau de variations de f sur .

    1. Montrer que sur l'intervalle [0;1] l'équation f(x)=0 admet une seule solution α.

      Théorème de la valeur intermédiaire :

      Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b].

    2. Donner une valeur, arrondie au centième, de α.

    3. Préciser le signe de f(x) selon les valeurs du réel x.

  1. Tracer la droite D et la courbe C dans le repère (O;𝚤,𝚥).

partie c

  1. Déterminer une primitive F de la fonction f sur .

  2. Calculer l'intégrale I=13f(x)dx.
    Donner la valeur exacte de I, puis une valeur décimale arrondie au centième.
    Donner une interprétation graphique de cette intégrale.


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