On considère la fonction f définie sur l'ensemble des nombres réels par . On note C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm.
Calculer et . On donnera les valeurs exactes.
Calculer la limite de f en .
Montrer que la droite D d'équation est asymptote oblique à la courbe C.
Calculer la limite de f en .
On note la fonction dérivée de f. Calculer pour tout x réel et étudier son signe sur .
Dresser le tableau de variations de f sur .
Montrer que sur l'intervalle l'équation admet une seule solution α.
Théorème de la valeur intermédiaire :
Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle .
Donner une valeur, arrondie au centième, de α.
Préciser le signe de selon les valeurs du réel x.
Tracer la droite D et la courbe C dans le repère .
Déterminer une primitive F de la fonction f sur .
Calculer l'intégrale .
Donner la valeur exacte de I, puis une valeur décimale arrondie au centième.
Donner une interprétation graphique de cette intégrale.
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