Baccalauréat Septembre 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a

Soit la suite (Un) définie par la donnée de son premier terme U0=14000 et par 1a relation :

pour tout entier naturel n, Un+1=1,04×Un+200.

  1. Calculer U1 et U2.

    • U1=1,04×U0+200U1=1,04×14000+200=14760

    • U2=1,04×U1+200U2=1,04×14760+200=15550,4

    Ainsi, U1=14760 et U2=15550,4


  2. Pour tout entier naturel n, on pose Vn=Un+5000.

    1. Calculer V0.

      V0=U0+5000V0=14000+5000=19000

      Soit V0=19000.


    2. Exprimer Vn+1 en fonction de Vn.
      En déduire que la suite (Vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

      Pour tout entier naturel n, Vn+1=Un+1+5000Vn+1=1,04×Un+200+5000Vn+1=1,04×Un+5200Vn+1=1,04(Un+5000)Vn+1=1,04Vn

      Ainsi, pour tout entier naturel n, Vn+1=1,04Vn donc (Vn) est une suite géométrique de raison 1,04 et de premier terme V0=19000.


    3. Exprimer Vn en fonction de n.

      (Vn) est une suite géométrique de raison 1,04 et de premier terme V0=19000 alors, pour tout entier naturel n, Vn=19000×1,04n.


    4. En déduire que Un=19000×(1,04)n-5000.

      Pour tout entier naturel n, Vn=Un+5000 d'où 19000×1,04n=Un+5000SoitUn=19000×(1,04)n-5000

      Ainsi, pour tout entier naturel n, Un=19000×(1,04)n-5000.


partie b

On suppose que Un représente le salaire annuel d'une personne pour l'année 2002 + n, n étant un entier naturel.

  1. Calculer le salaire annuel, arrondi à l'euro, de la personne en 2010.

    Le rang de l'année 2010 est 8 et d'après la relation établie dans la question 2.e :U8=19000×(1,04)8-500021003

    En 2010, le salaire annuel de cette personne sera de 21003 € (arrondi à l'euro près).


    1. Résoudre dans l'inéquation d'inconnue x : 1,04x3319.

      Pour tout réel x, 1,04x3319ln(1,04x)ln(3319)x×ln1,04ln33-ln19xln33-ln19ln1,04

      L'ensemble solution de l'inéquation 1,04x3319 est l'intervalle S=[ln33-ln19ln1,04;+[


    2. À partir de quelle année le salaire annuel de cette personne aura-t-il doublé par rapport à celui de 2002 ?

      Le rang n de l'année 2002 + n à partir de laquelle le salaire annuel de cette personne aura doublé par rapport à celui de 2002, est le plus petit entier n solution de l'inéquation Un2×U0. Soit 19000×(1,04)n-50002×1400019000×(1,04)n28000+50001,04n3319nln33-ln19ln1,04

      Or ln33-ln19ln1,0414,08. Donc n=15.

      Le salaire annuel de cette personne aura doublé par rapport à celui de 2002 à partir de 2017.



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