Baccalauréat Septembre 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Le tableau suivant donne l'évolution de la population de l'Inde de 1951 à 1991.

Année	1951	1961	1971	1981	1991
Rang $x_{i}$	1	2	3	4	5
Population $y_{i}$ (en millions)	361	439	548	683	846
$z_{i}$

On cherche à étudier l'évolution de la population y, exprimée en millions d'habitants, en fonction du rang x de l'année.

Représenter graphiquement le nuage de points $(x_{i}; y_{i})$ dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unités graphiques 1 cm pour 1 sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 100 millions sur l' axe des ordonnées.
1. À l'aide de la calculatrice, déterminer un ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés.
  Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : $y = 121,4 x + 211,2$
2. En utilisant cet ajustement, déterminer la population de l'Inde que l'on pouvait prévoir pour 2001, c'est-à-dire pour $x = 6$ (le résultat sera arrondi au million).
  Avec cet ajustement, on peut estimer pour 2001 une population de : $121,4 \times 6 + 211,2 = 939,6$
  En 2001 on estime que la population serait de 940 millions.
On cherche un autre ajustement et on se propose d'utiliser le changement de variable suivant : $z = \ln y$ .
1. Recopier le tableau ci-dessus et compléter la dernière ligne (les valeurs seront arrondies au millième).
  Année 1951 1961 1971 1981 1991
  Rang $x_{i}$ 1 2 3 4 5
  Population $y_{i}$ (en millions) 361 439 548 683 846
  $z_{i} = \ln y_{i}$ 5,889 6,084 6,306 6,526 6,741
2. À l'aide de la calculatrice, déterminer un ajustement affine de z en fonction de x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au millième).
  Une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : $z = 0,215 x + 5,665$ les coefficients sont arrondis au millième
3. En déduire qu'une approximation de la population y, exprimée en millions d'habitants, en fonction du rang x de l'année est donnée par : $y \approx 289 e^{0,215 x}$ .
  Pour tout réel $y > 0$ , $z = \ln y \Leftrightarrow y = \exp z$ d'où $\begin{array}{l} y = e^{0,215 x + 5,665} & \Leftrightarrow & y = e^{5,665} \times e^{0,215 x} \\ \Leftrightarrow & y \approx 289 e^{0,215 x} \end{array}$
  Ainsi, une approximation de la population y, exprimée en millions d'habitants, en fonction du rang x de l'année est donnée par : $y \approx 289 e^{0,215 x}$
4. En utilisant cet ajustement, calculer la population que l'on pouvait prévoir pour 2001 (le résultat sera arrondi au million).
  Avec cet ajustement, on peut estimer pour 2001 une population de : $289 \times e^{0,215 \times 6} \approx 1050$
  Avec ce nouvel ajustement, en 2001 la population serait de 1050 millions.
Les résultats obtenus en 2001 ont révélé que la population comptait 1027 millions d'habitants. Déterminer une estimation de la population, arrondie au million d'habitants, en 2011 en choisissant le modèle qui semble le plus approprié. Justifier ce choix.
L'estimation obtenue avecle modèle exponentiel est plus proche de la réalité, c'est donc ce modèle qui semble le plus approprié pour eune estimation en 2011.
Le rang de l'année 2011 est 7 d'où : $289 \times e^{0,215 \times 7} \approx 1302$
Avec le modèle exponentiel, en 2011 la population serait de 1302 millions.

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