sujet : Polynésie

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'ensemble $ℝ$ des nombres réels par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-1}+x-1$. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ d'unité graphique 1 cm.

partie a

1. Calculer $f\left(0\right)$ et $f\left(1\right)$. On donnera les valeurs exactes.

   • $\begin{array}{ccccc}f\left(0\right)& =& {\mathrm{e}}^{-1}-1& =& {\displaystyle \frac{1-\mathrm{e}}{\mathrm{e}}}\end{array}$
   • $\begin{array}{ccccc}f\left(1\right)& =& {\mathrm{e}}^0& =& 1\end{array}$

2. 1. Calculer la limite de f en $-\infty$.

      $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{x-1}=0$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }x-1=-\infty$ alors par somme, $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{x-1}+x-1=-\infty$.

      Ainsi, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

      ---

   2. Montrer que la droite D d'équation $y=x-1$ est asymptote oblique à la courbe C.

      $f\left(x\right)-\left(x-1\right)={\mathrm{e}}^{x-1}$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{x-1}=0$ par conséquent :

      La droite D d'équation $y=x-1$ est asymptote oblique à la courbe C en $-\infty$.

      ---

3. Calculer la limite de f en $+\infty$.

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{x-1}=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }x-1=+\infty$ alors par somme, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{x-1}+x-1=+\infty$.

   Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

   ---

partie b

1. 1. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f. Calculer $f\prime \left(x\right)$ pour tout x réel et étudier son signe sur $ℝ$.

      La fonction qui à tout réel $x⟼{\mathrm{e}}^{x-1}$ est de la forme ${\mathrm{e}}^u$ avec $u\left(x\right)=x-1$. Sa dérivée est donc de la forme $u\prime {\mathrm{e}}^u$ avec $u\prime \left(x\right)=1$.

      Donc pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-1}+1$.

      ---

      D'autre part, pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}{\mathrm{e}}^{x-1}>0& \iff & {\mathrm{e}}^{x-1}+1>1\end{array}$$

      Donc pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)>0$.

      ---

   2. Dresser le tableau de variations de f sur $ℝ$.

      Pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)>0$ donc f est strictement croissante. D'où le tableau de variations de f sur $ℝ$

      x	$-\infty$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+
      $f\left(x\right)$	$-\infty$		$+\infty$

2. 1. Montrer que sur l'intervalle $\left[0;1\right]$ l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une seule solution α.

      $f\left(0\right)={\displaystyle \frac{1-\mathrm{e}}{\mathrm{e}}}\Rightarrow f\left(0\right)<0$ et $f\left(1\right)=1$.

      Sur l'intervalle $\left[0;1\right]$, la fonction f est continue et strictement croissante et $0\in \left[f\left(0\right);f\left(1\right)\right]$. D'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

      Sur l'intervalle $\left[0;1\right]$ l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une seule solution α.

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   2. Donner une valeur, arrondie au centième, de α.

      À l'aide de la calculatrice, on obtient des encadrements successifs de α$$\begin{array}{ccc}f\left(\mathrm{0,4}\right)\approx -\mathrm{0,051}\text{ et }f\left(\mathrm{0,5}\right)\approx \mathrm{0,107}& \Rightarrow & \mathrm{0,4}<\alpha <\mathrm{0,5}\\ f\left(\mathrm{0,43}\right)\approx -\mathrm{0,0045}\text{ et }f\left(\mathrm{0,44}\right)\approx \mathrm{0,0112}& \Rightarrow & \mathrm{0,43}<\alpha <\mathrm{0,44}\\ f\left(\mathrm{0,432}\right)\approx -\mathrm{0,0013}\text{ et }f\left(\mathrm{0,433}\right)\approx \mathrm{0,0002}& \Rightarrow & \mathrm{0,432}<\alpha <\mathrm{0,433}\end{array}$$

      La valeur arrondie au centième, de α est 0,43.

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   3. Préciser le signe de $f\left(x\right)$ selon les valeurs du réel x.

      f est une fonction strictement croissante sur $ℝ$ et $f\left(\alpha \right)=0$ alors :

      − sur l'intervalle $\left]-\infty ;\alpha \right]$, $f\left(x\right)⩽0$
      − sur l'intervalle $\left[\alpha +\infty \right[$, $f\left(x\right)⩾0$

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3. Tracer la droite D et la courbe C dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$.

partie c

1. Déterminer une primitive F de la fonction f sur $ℝ$.

   Les formules usuelles du calcul des primitves permettent de déterminer une primitive de la fonction f.

   Une primitive de la fonction f sur $ℝ$ est la fonction F définie pour tout réel x par $F\left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-1}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x$

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2. Calculer l'intégrale $I={\displaystyle {\int }_1^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.
   Donner la valeur exacte de I, puis une valeur décimale arrondie au centième.
   Donner une interprétation graphique de cette intégrale.

   $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_1^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(3\right)-F\left(1\right)\\ & =& \left({\mathrm{e}}^2+{\displaystyle \frac{9}{2}}-3\right)-\left({\mathrm{e}}^0+{\displaystyle \frac{1}{2}}-1\right)\\ & =& {\mathrm{e}}^2+1\end{array}$$

   ${\displaystyle {\int }_1^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\mathrm{e}}^2+1$. (Arrondie arrondie au centième, $I\approx \mathrm{8,39}$)
   Sur l'intervalle $\left[1;3\right]$, la fonction f est continue et positive donc l'intégrale $I={\displaystyle {\int }_1^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisse est les droites d'équation $x=1$ et $x=3$.

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