sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Le tableau suivant donne l'évolution de la population de l'Inde de 1951 à 1991.

Année	1951	1961	1971	1981	1991
Rang $x_i$	1	2	3	4	5
Population $y_i$ (en millions)	361	439	548	683	846
$z_i$

On cherche à étudier l'évolution de la population y, exprimée en millions d'habitants, en fonction du rang x de l'année.

1. Représenter graphiquement le nuage de points $\left(x_i;y_i\right)$ dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unités graphiques 1 cm pour 1 sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 100 millions sur l' axe des ordonnées.

2. 1. À l'aide de la calculatrice, déterminer un ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés.

   2. En utilisant cet ajustement, déterminer la population de l'Inde que l'on pouvait prévoir pour 2001, c'est-à-dire pour $x=6$ (le résultat sera arrondi au million).

3. On cherche un autre ajustement et on se propose d'utiliser le changement de variable suivant : $z=\ln y$.

   1. Recopier le tableau ci-dessus et compléter la dernière ligne (les valeurs seront arrondies au millième).

   2. À l'aide de la calculatrice, déterminer un ajustement affine de z en fonction de x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au millième).

   3. En déduire qu'une approximation de la population y, exprimée en millions d'habitants, en fonction du rang x de l'année est donnée par : $y\approx 289{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,215}x}$.

      Pour tout réel $y>0$, $z=\ln y\iff y=\exp z$

   4. En utilisant cet ajustement, calculer la population que l'on pouvait prévoir pour 2001 (le résultat sera arrondi au million).

4. Les résultats obtenus en 2001 ont révélé que la population comptait 1027 millions d'habitants. Déterminer une estimation de la population, arrondie au million d'habitants, en 2011 en choisissant le modèle qui semble le plus approprié. Justifier ce choix.

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