Baccalauréat Septembre 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère un groupe de 2000 lecteurs, tous abonnés à une des revues : la Drosera, l'Iguane ou le Nénuphar. Chacun d'eux n'est abonné qu'à une revue et ne lit que celle-là. Parmi ces abonnés :

  • 400 abonnés lisent la Drosera, et 20% des abonnés à la Drosera sont des femmes ;
  • 700 abonnés lisent l'Iguane et 30% des abonnés à l'Iguane sont des femmes ;
  • les autres abonnés lisent le Nénuphar et 60% des abonnés au Nénuphar sont des femmes.

On choisit un lecteur au hasard parmi ces abonnés. On note par D, I, N, F et H les événements suivants :

  • D : « l'abonné lit la Drosera» ;
  • I : « l'abonné lit l'Iguane » ;
  • N : « l'abonné lit le Nénuphar » ;
  • F : « l'abonné est une femme » ;
  • H : « l'abonné est un homme ».
  1. Traduire les données de l'exercice à l'aide d'un arbre de probabilité.

    • 400 abonnés lisent la Drosera, et 20% des abonnés à la Drosera sont des femmes donc p(D)=4002000=15 et pD(F)=0,2 d'où pD(H)=1-0,2=0,8

    • 700 abonnés lisent l'Iguane et 30% des abonnés à l'Iguane sont des femmes donc p(I)=7002000=720 et pI(F)=0,3 d'où pI(H)=1-0,3=0,7

    • les autres abonnés lisent le Nénuphar d'où p(N)=1-(p(D)+p(I))=1-(15+720)=920 et 60% des abonnés au Nénuphar sont des femmes alors pN(H)=0,6 et pN(H)=1-0,6=0,4.

    L'arbre de probabilité traduisant la situation est :

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    1. Calculer la probabilité que l'abonné soit une femme lisant la Drosera.

      p(DF)=pD(F)×p(D)=0,2×15=0,04

      La probabilité que l'abonné soit une femme lisant la Drosera est égale à 0,04.


    2. Calculer la probabilité que l'abonné soit une femme lisant l'Iguane.

      p(IF)=pI(F)×p(I)=0,3×720=0,105

      La probabilité que l'abonné soit une femme lisant l'Iguane est égale à 0,105.


    3. Démontrer que la probabilité que l'abonné soit une femme est égale à 0,415.

      Chacun des lecteurs n'est abonné qu'à une revue et ne lit que celle-là donc les évènements D, I et N forment une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
      p(F)=p(DF)+p(IF)+p(NF)

      Or p(NF)=pN(F)×p(N)=0,6×920=0,27

      Donc p(F)=p(DF)+p(IF)+p(NF)=0,04+0,105+0,27=0,415

      Ainsi, la probabilité que l'abonné soit une femme est égale à 0,415.


  2. Sachant que l'abonné choisi est une femme, calculer la probabilité qu'il soit lecteur de la Drosera (le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au millième).

    Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement D sachant que l'évènement F est réalisé : pF(D)=p(DF)p(F)=0,040,4150,096

    Arrondie au millième, la probabilité qu'une femme lise la Drosera est 0,096.


  3. On interroge au hasard et de façon indépendante trois abonnés.
    Quelle est la probabilité qu'aucun des abonnés ne soit une femme lectrice du Nénuphar (le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au millième) ?

    Interroger au hasard et de façon indépendante trois abonnés est la répétition de trois épreuves de Bernoulli indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre d'abonnés qui sont des femmes et qui lisent le Nénuphar est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,105.

    La probabilité qu'aucun des trois abonnés ne soit une femme lectrice du Nénuphar est égale à (1-0,105)30,717

    Arrondie au millième, la probabilité qu'aucun des abonnés ne soit une femme lectrice du Nénuphar est 0,717.



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