sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des questions ci-dessous, une et une seule affirmation est juste. Le candidat doit porter sur sa copie le numéro de la question ainsi que la lettre associée à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise réponse retire 0,25 point et l'absence de réponse n'apporte ni ne retire aucun point. Si le total des points est négatif, la note de l'exercice est ramenée à 0.

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On désigne par f une fonction définie sur l'intervalle $I=\left]-1;+\infty \right[$.

1. Si la fonction f vérifie que $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$, alors :

   Les limites aux bornes de son intervalle de définition ne permettent pas de déduire les variations de la fonction f.
   Par exemple, la courbe $C_f$ tracée ci-dessous, représente une fonction f définie sur l'intervalle $I=\left]-1;+\infty \right[$ telle que $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

   • on peut affirmer que la fonction f est croissante sur I ;
   • on peut affirmer que la fonction f est monotone sur I ;

   • c.  on ne peut pas en déduire le sens de variations de f sur I.

2. Si f est strictement croissante sur $I=\left[10;+\infty \right[$, et si g est la fonction définie par : $g\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-f\left(x\right)}$, alors :

   Si f est strictement croissante sur $I=\left[10;+\infty \right[$, alors la fonction $u:x⟼-f\left(x\right)$ est strictement décroissante sur $I=\left[10;+\infty \right[$

   Or la fonction exponentielle est strictement croissante. Par conséquent, d'après le théorème sur les variations des fonctions composées,I et J sont deux intervalles. f est une fonction strictement monotone et définie sur I et à valeurs dans J. g est une fonction définie et strictement monotone sur J.
   — Si f et g ont le même sens de variation ( f sur I et g sur J ), alors $g\circ f$ est strictement croissante sur I.
   — Si f et g ont des sens de variation différents ( f sur I et g sur J ), alors $g\circ f$ est strictement décroissante sur I. la fonction g composée de la fonction u suivie de la fonction exponentielle est strictement décroissante sur $I=\left[10;+\infty \right[$

   • g est strictement croissante sur $I=\left[10;+\infty \right[$ ;
   • on ne peut pas déterminer le sens de variations de g ;

   • c.  g est strictement décroissante sur $I=\left[10;+\infty \right[$.

3. Si F est la primitive de f sur I, qui prend la valeur ${\displaystyle \frac{3}{7}}$ en 1 et si ${\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(t\right)\mathrm{d}t}={\displaystyle \frac{2}{5}}$ alors :

   Si F est une primitive de f alors $${\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(t\right)\mathrm{d}t}=F\left(1\right)-F\left(0\right)$$ Donc $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{3}{7}}-F\left(0\right)={\displaystyle \frac{2}{5}}& \iff & F\left(0\right)={\displaystyle \frac{3}{7}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{1}{35}}\end{array}$$

   • $F\left(0\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ;

   • b.  $F\left(0\right)={\displaystyle \frac{1}{35}}$ ;

   • on ne peut pas déterminer $F\left(0\right)$.

4. Si la fonction u est définie par $u\left(x\right)=\ln \left[f\left(x\right)\right]$ alors :

   La fonction logarithme est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ . Par conséquent, la fonction u composée de la fonction f suivie de la fonction logarithme est définie sur tout intervalle où la fonction f est strictement positive.

   Or les informations fournies sur la fonction f, ne permettent pas de déterminer le signe de f

   • la fonction u est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ ;
   • la fonction u est définie sur I ;

   • c.  on ne peut pas donner le domaine de définition de la fonction u.

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