Baccalauréat septembre 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Polynésie

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Pour chacune des questions ci-dessous, une et une seule affirmation est juste. Le candidat doit porter sur sa copie le numéro de la question ainsi que la lettre associée à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise réponse retire 0,25 point et l'absence de réponse n'apporte ni ne retire aucun point. Si le total des points est négatif, la note de l'exercice est ramenée à 0.

On désigne par f une fonction définie sur l'intervalle I=-1+.

  1. Si la fonction f vérifie que limx-1fx=- et limx+fx=+, alors :

    1. on peut affirmer que la fonction f est croissante sur I ;
    2. on peut affirmer que la fonction f est monotone sur I ;
    3. on ne peut pas en déduire le sens de variations de f sur I.
  2. Si f est strictement croissante sur I=10+, et si g est la fonction définie par : gx=e-fx, alors :

    1. g est strictement croissante sur I=10+ ;
    2. on ne peut pas déterminer le sens de variations de g ;
    3. g est strictement décroissante sur I=10+.
  3. Si F est la primitive de f sur I, qui prend la valeur 37 en 1 et si 01ftdt=25 alors :

    1. F0=12 ;
    2. F0=135 ;
    3. on ne peut pas déterminer F0.
  4. Si la fonction u est définie par ux=lnfx alors :

    1. la fonction u est définie sur I=0+ ;
    2. la fonction u est définie sur I ;
    3. on ne peut pas donner le domaine de définition de la fonction u.

EXERCICE 2 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous donne les cumuls des nombres d'entrées de cinq films sortis au cours de l'année 2006, d'une part en région parisienne, d'autre part sur la France dans son ensemble. (source : « le film français », chiffres arrêtés au 3 avril 2007).

Film Indice i
1i5
Nombres d'entrées en région parisienne en centaines de milliers : xiNombres d'entrées en France en centaines de milliers : yi
Pirates des Caraïbes 211075
Arthur et les Minimoys2962
Da Vinci Code37,541,5
Ne le dis à personne46,532
Indigènes5529,5
    1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique xiyi1i5 dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour une centaine de milliers d'entrées sur l'axe des abscisses et 1 cm pour la centaines de milliers d'entrées sur l'axe des ordonnées).

    2. Déterminer les coordonnées du point moyen G de cette série et placer G dans le repère précédent.

    3. Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de Δ, droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients sont  arrondis au dixième). Tracer cette droite dans le repère précédent.

    4. En utilisant cette approximation affine, calculer le nombre d'entrées cumulées sur la France qu'on aurait pu prévoir pour le film « Les bronzés 3 » sachant qu'il en a réalisé 1 140 000 en région parisienne (on arrondira le résultat à la dizaine de milliers d'entrées).

  1. La forme du nuage de points ci-dessus suggère de faire un ajustement par une courbe de type exponentiel d'équation y=AeBx (où A et B sont des réels). Pour cela on pose d'abord z=lny.

    1. Recopier et compléter le tableau suivant avec des valeurs de zi arrondies à 10−21i5.

      xi1097,56,55
      yi 75  62 41,5 32 29,5
      zi=lnyi     
    2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au millième).

    3. En utilisant la relation z=lny déterminer alors les valeurs arrondies à 10−3 des réels A et B tels que y=AeBx

    4. En utilisant l'approximation y9,689e0,202x, quel nombre d'entrées, cumulées sur la France aurait-on pu prévoir pour le film « Les bronzés 3 » sachant qu'il en a réalisé 1 140 000  en région parisienne ? On arrondira le résultat au millier d'entrées.

  2. Le nombre d'entrées en fin d'exploitation pour ce film sur la France a été de 10 300 000. Lequel des deux ajustements semble le plus approprié ?


EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes

partie a

On réalise une expérience aléatoire. A désigne un évènement et A¯ son évènement contraire. On pose pA=x.

  1. Exprimer pA¯ en fonction de x.

  2. Déterminer les valeurs possibles de x sachant que : pA×pA¯=0,24.

partie b

La « Revue Spéciale d'Économie » et le « Guide des Placements en Bourse » sont deux magazines mensuels offrant à leurs lecteurs la possibilité d'abonnement communs.
On s'intéresse à l'ensemble des lecteurs de l'une ou l'autre de ces deux revues.
Parmi ces lecteurs, certains sont abonnés. Les abonnés ont souscrit soit l'un des deux abonnements, soit les deux abonnements simultanément.

Une étude a permis de constater que :

On note :
A l'évènement : « le lecteur a choisi l'abonnement à la "Revue Spéciale d'Économie" » ;
B l'évènement : « le lecteur a choisi l'abonnement au "Guide des Placements en Bourse" ».

On interroge un lecteur au hasard.

  1. Déduire de l'énoncé les probabilités pA, pA¯ et pA¯B.

    Reproduire et compléter l'arbre suivant :

    Arbre probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Traduire par une phrase l'évènement AB. Donner sa probabilité.

    2. Traduire par une phrase l'évènement A¯B¯. Donner sa probabilité.

  2. Calculer pB. En déduire la probabilité qu'un lecteur soit abonné à la « Revue Spéciale d'Économie » sachant qu'il est abonné au « Guide des Placements en Bourse ».

  3. On interroge au hasard 3 lecteurs indépendamment les uns des autres. Calculer la probabilité pour qu'au moins l'un d'eux ait choisi l'abonnement au « Guide des Placements en Bourse ».


EXERCICE 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On considère une population donnée d'une île de Bretagne se rendant régulièrement sur le continent. Deux compagnies maritimes A et B effectuent la traversée.
En 2008, 60% de la population voyage avec la compagnie A. Les campagnes publicitaires font évoluer cette répartition. Une enquête indique alors que chaque année 20% des clients de la compagnie A l'abandonnent au profit de la compagnie B et que 10% des clients de la compagnie B choisissent la compagnie A.
Pour tout entier naturel n, l'état probabiliste de l'année  2008 + n est défini par la matrice ligne xnynxn désigne la proportion de la population qui voyage avec la compagnie A et yn la proportion de la population qui voyage avec la compagnie B.

  1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.

  2. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre.

  3. Préciser l'état initial P0 puis montrer que P1=0,520,48.

  4. Déterminer la répartition prévisible du trafic entre les compagnies A et B en 2011.

  5. Déterminer l'état stable et l'interpréter.

  6. Montrer que, pour tout entier naturel n, xn+1=0,7xn+0,1

  7. On admet que, pour tout entier naturel n, xn=415×0,7n+13.
    Déterminer la limite de la suite xn et l'interpréter.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthogonal.
Le graphique ci-dessous représente une partie de la courbe représentative C d'une fonction F définie et dérivable sur 04. On désigne par f la fonction dérivée de F sur l'ensemble des nombres réels .
La courbe C passe par l'origine O du repère et par les points A152, B392 et D22
La courbe C admet en A et en D une tangente horizontale.
On désigne par T, la tangente à C au point O ; cette tangente T passe par le point de coordonnées 16.

Courbe représentative de la fonction F : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Que représente la fonction F pour la fonction f ?

  2. À partir du graphique et des données de l'énoncé, dresser le tableau de variations de F sur 03.

    1. Déterminer graphiquement l'équation réduite de la droite T.

    2. En déduire f0.

  3. Indiquer sur quel(s) intervalle(s) la fonction f est positive.

  4. Déterminer la valeur exacte de l'intégrale 13fxdx.

  5. Dans cette question, le candidat est invité  à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.

    Soit G une autre fonction primitive de f sur 04, telle que G0=1. Calculer G3.



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✉ A.Yallouz

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