sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes

partie a

On réalise une expérience aléatoire. A désigne un évènement et $\overline{A}$ son évènement contraire. On pose $p\left(A\right)=x$.

1. Exprimer $p\left(\overline{A}\right)$ en fonction de x.

   $p\left(\overline{A}\right)=1-p\left(A\right)$. Soit $p\left(\overline{A}\right)=1-x$

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2. Déterminer les valeurs possibles de x sachant que : $p\left(A\right)\times p\left(\overline{A}\right)=\mathrm{0,24}$.

   $$\begin{array}{ccc}p\left(A\right)\times p\left(\overline{A}\right)=\mathrm{0,24}& \iff & x\left(1-x\right)=\mathrm{0,24}\\ & \iff & -x^2+x-\mathrm{0,24}=0\end{array}$$

   Cherchons les solutions de l'équation du second degré $-x^2+x-\mathrm{0,24}=0$ avec $a=-1\text{, }b=1\text{ et }c=-\mathrm{0,24}$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=1^2-4\times \left(-1\right)\times \left(-\mathrm{0,24}\right)=\mathrm{0,04}\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation admet deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-1-\mathrm{0,2}}{-2}}=\mathrm{0,4}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-1+\mathrm{0,2}}{-2}}=\mathrm{0,6}\end{array}$$

   Les deux solutions sont comprises dans l'intervalle $\left[0;1\right]$ par conséquent, l'ensemble des valeurs possibles de x est $\left\{\mathrm{0,4};\mathrm{0,6}\right\}$

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partie b

1. Déduire de l'énoncé les probabilités $p\left(A\right)$, $p\left(\overline{A}\right)$ et $p_{\overline{A}}\left(B\right)$.

   • 60 % de l'ensemble des lecteurs ont souscrit un abonnement à la « Revue Spéciale d'Économie », et parmi eux ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ ont aussi choisi l'abonnement au « Guide des Placements en Bourse » d'où $p\left(A\right)=\mathrm{0,6}$ et $p_A\left(B\right)={\displaystyle \frac{3}{5}}$. Par conséquent, $p\left(\overline{A}\right)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}$

   • 10 % des lecteurs n'ayant pas choisi l'abonnement à la « Revue Spéciale d'Économie », ont souscrit l'abonnement au « Guide des Placements en Bourse » d'où $p_{\overline{A}}\left(B\right)=\mathrm{0,1}$

   Ainsi, $p\left(A\right)=\mathrm{0,6}$, $p\left(\overline{A}\right)=\mathrm{0,4}$ et $p_{\overline{A}}\left(B\right)=\mathrm{0,1}$

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   Reproduire et compléter l'arbre suivant :

2. 1. Traduire par une phrase l'évènement $A\cap B$. Donner sa probabilité.

      $A\cap B$ est l'évènement : « Un lecteur s'est abonné aux deux revues »

      Or d'après la formule des probabilités composées , $$\begin{array}{ccc}p\left(A\cap B\right)=p_A\left(B\right)\times p\left(B\right)& \text{Soit}& p\left(A\cap B\right)=\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,6}=\mathrm{0,36}\end{array}$$

      La probabilité qu'un lecteur soit abonné aux deux revues est égale à 0,36.

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   2. Traduire par une phrase l'évènement $\overline{A}\cap \overline{B}$. Donner sa probabilité.

      $\overline{A}\cap \overline{B}$ est l'évènement : « Un lecteur n'est abonné à aucune des deux revues »

      et D'après la règle des nœuds Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1., $$\begin{array}{ccc}{p}_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right)=1-p_{\overline{A}}\left(B\right)& \text{Soit}& p_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right)=1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}\end{array}$$ Or $$\begin{array}{ccc}p\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)=p_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right)\times p\left(\overline{A}\right)& \text{Soit}& p\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)=\mathrm{0,9}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,36}\end{array}$$

      La probabilité qu'un lecteur ne soit abonné à aucune des deux revues est égale à 0,36.

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3. Calculer $p\left(B\right)$. En déduire la probabilité qu'un lecteur soit abonné à la « Revue Spéciale d'Économie » sachant qu'il est abonné au « Guide des Placements en Bourse ».

   Les évènements A et B sont relatifs à la même épreuve , alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{lll}p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)& \text{d'où}& p\left(B\right)=p\left(A\cap B\right)+p_{\overline{A}}\left(B\right)\times p\left(\overline{A}\right)\\ & \text{Soit}& p\left(B\right)=\mathrm{0,36}+\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,1}=\mathrm{0,4}\end{array}$$

   et $$\begin{array}{ccc}{p}_B\left(A\right)={\displaystyle \frac{p\left(A\cap B\right)}{p\left(B\right)}}& \text{Soit}& p_B\left(A\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,36}}{\mathrm{0,4}}}=\mathrm{0,9}\end{array}$$

   La probabilité qu'un lecteur soit abonné à la « Revue Spéciale d'Économie » sachant qu'il est abonné au « Guide des Placements en Bourse » est égale à 0,9.

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4. On interroge au hasard 3 lecteurs indépendamment les uns des autres. Calculer la probabilité pour qu'au moins l'un d'eux ait choisi l'abonnement au « Guide des Placements en Bourse ».

   Dans cette question, on s'intéresse uniquement à la réalisation de l'évènement B ou à sa non réalisation. Il s'agit de la répétition de trois expériences de Bernoulli indépendantes dont la probabilité du succès est égale à 0,4.
   Par conséquent, la loi de probabilité associée au nombre de lecteurs ayant choisi l'abonnement au « Guide des Placements en Bourse » est une loi binomiale de paramètres 0,4 et 3.

   L'évènement E « au moins l'un des trois lecteurs a choisi l'abonnement au "Guide des Placements en Bourse" » est l'évènement contraire de l'évènement « les trois lecteurs ne sont pas abonnés au "Guide des Placements en Bourse" ». D'où : $$p\left(E\right)=1-{\mathrm{0,6}}^3=\mathrm{0,784}$$

   La probabilité pour qu'au moins l'un des trois lecteurs ait choisi l'abonnement au « Guide des Placements en Bourse » est égale à 0,784.

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