sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On considère une population donnée d'une île de Bretagne se rendant régulièrement sur le continent. Deux compagnies maritimes A et B effectuent la traversée.
En 2008, 60% de la population voyage avec la compagnie A. Les campagnes publicitaires font évoluer cette répartition. Une enquête indique alors que chaque année 20% des clients de la compagnie A l'abandonnent au profit de la compagnie B et que 10% des clients de la compagnie B choisissent la compagnie A.
Pour tout entier naturel n, l'état probabiliste de l'année  2008 + n est défini par la matrice ligne $\left(\begin{array}{cc}{x}_n& y_n\end{array}\right)$ où $x_n$ désigne la proportion de la population qui voyage avec la compagnie A et $y_n$ la proportion de la population qui voyage avec la compagnie B.

1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.

   Soient $A_n$ l'évènement : « une personne interrogée au hasard l'année 2008 + n voyage avec la compagnie A » et $B_n$ l'évènement : « une personne interrogée au hasard l'année 2008 + n voyage avec la compagnie B ». D'une année sur l'autre, on considère que :

   • 20% des clients de la compagnie A l'abandonnent au profit de la compagnie B donc $p_{A_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,2}$ d'où $p_{A_n}\left(A_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,8}$.
   • 10% des clients de la compagnie B choisissent la compagnie A donc $p_{B_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,1}$ d'où $p_{B_n}\left(B_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}$.

   Le graphe probabiliste qui représente la situation est donc :

2. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre.

   La matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre est $$M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)$$

   ---

3. Préciser l'état initial $P_0$ puis montrer que $P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,52}& \mathrm{0,48}\end{array}\right)$.

   En 2008, 60% de la population voyage avec la compagnie A d'où $P_0=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)$

   ---

   D'après une propriété des matrices de transition,Si M est la matrice de transition d'un graphe probabiliste à k sommets, si $P_0$ est la matrice ligne décrivant l'état initial, et $P_n$ l'état probabiliste à l'étape n alors, $P_n=P_0{M}^n$.$$P_1=P_0\times M$$

   D'où $$P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,8}+\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,1}& \mathrm{0,6}\times \mathrm{0,2}+\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,9}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,52}& \mathrm{0,48}\end{array}\right)$$

   La matrice ligne décrivant l'état probabiliste en 2009 est $P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,52}& \mathrm{0,48}\end{array}\right)$.

   ---

4. Déterminer la répartition prévisible du trafic entre les compagnies A et B en 2011.

   La matrice ligne décrivant l'état probabiliste en 2011 est $$P_3=P_0\times M^3$$

   Soit $$P_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)}^3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4248}& \mathrm{0,5752}\end{array}\right)$$

   En 2011, 42,48% de la population devrait voyager avec la compagnie A et 57,52% de la population devrait voyager avec la compagnie B.

   ---

5. Déterminer l'état stable et l'interpréter.

   Les coefficients de la matrice de transition M du graphe probabiliste d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état $P_n$ converge vers un état stable $P=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ indépendant de l'état initial.
   P est solution de l'équation : ( voir le théorème )Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0. Alors :
   —  l'état $P_n$ à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial $P_0$ ;
   —  de plus, P est l'unique solution de l'équation $X=X\times M$ où $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$.$$P=P\times M$$

   Soit $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)\end{array}$ avec $x+y=1$

   D'où x et y sont solutions du système $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{rcl}x& =& \mathrm{0,8}x+\mathrm{0,1}y\\ y& =& \mathrm{0,2}x+\mathrm{0,9}y\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,1}y& =& 0\\ -\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,1}y& =& 0\\ x+y& =& 1\end{array}\end{array}$$

   Ainsi, x et y sont solutions du système $$\begin{array}{ccccccc}\{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,1}y& =& 0\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,1}\times \left(1-x\right)& =& 0\\ y& =& 1-x\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,1}& =& 0\\ y& =& 1-x\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}x& =& {\displaystyle \frac{1}{3}}\\ y& =& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\end{array}$$

   L'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\right)$ .
   En supposant que la stratégie des deux compagnies maritimes ne change pas, à terme, la compagnie maritime A assurera un tiers du traffic et la compagnie B les deux tiers.

   ---

6. Montrer que, pour tout entier naturel n, $x_{n+1}=\mathrm{0,7}{x}_n+\mathrm{0,1}$

   $P_n=\left(\begin{array}{cc}{x}_n& y_n\end{array}\right)$ est la matrice traduisant l'état probabiliste l'année 2008 + n alors pour tout entier n, $x_n+y_n=1$, et pour tout entier naturel n, $P_{n+1}=P_n\times M$. Donc $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{cc}{x}_{n+1}& y_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{x}_n& y_n\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)& \text{avec}& x_n+y_n=1\end{array}$$

   Soit $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{l}{x}_{n+1}=\mathrm{0,8}{x}_n+\mathrm{0,1}{y}_n\\ y_{n+1}=\mathrm{0,2}{x}_n+\mathrm{0,9}{y}_n\\ x_n+y_n=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}{x}_{n+1}=\mathrm{0,8}{x}_n+\mathrm{0,1}\times \left(1-x_n\right)\\ y_{n+1}=\mathrm{0,2}\left(1-y_n\right)+\mathrm{0,9}{y}_n\\ x_n+y_n=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}{x}_{n+1}=\mathrm{0,7}{x}_n+\mathrm{0,1}\\ y_{n+1}=\mathrm{0,7}{y}_n+\mathrm{0,2}\\ x_n+y_n=1\end{array}\end{array}$$

   Ainsi, pour tout entier n, $x_{n+1}=\mathrm{0,7}{x}_n+\mathrm{0,1}$.

   ---

7. On admet que, pour tout entier naturel n, $x_n={\displaystyle \frac{4}{15}}\times {\mathrm{0,7}}^n+{\displaystyle \frac{1}{3}}$. Déterminer la limite de la suite $\left(x_n\right)$ et l'interpréter.

   $0<\mathrm{0,7}<1$ alors , $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,7}}^n=0$ d'où $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{4}{15}}\times {\mathrm{0,7}}^n+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

   $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n={\displaystyle \frac{1}{3}}$ donc la suite $\left(x_n\right)$ converge vers ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. C'est à dire, qu'à partir d'un certain nombre d'années, la probabilité qu'une personne choisisse la compagnie maritime A sera très proche de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

   ---

   remarque :

   Ce résultat est cohérent avec celui établi dans la cinquième question : l'état probabiliste converge vers l'état stable $P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\right)$.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.