sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des questions ci-dessous, une et une seule affirmation est juste. Le candidat doit porter sur sa copie le numéro de la question ainsi que la lettre associée à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise réponse retire 0,25 point et l'absence de réponse n'apporte ni ne retire aucun point. Si le total des points est négatif, la note de l'exercice est ramenée à 0.

On désigne par f une fonction définie sur l'intervalle $I=\left]-1;+\infty \right[$.

1. Si la fonction f vérifie que $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$, alors :

   1. on peut affirmer que la fonction f est croissante sur I ;
   2. on peut affirmer que la fonction f est monotone sur I ;
   3. on ne peut pas en déduire le sens de variations de f sur I.

2. Si f est strictement croissante sur $I=\left[10;+\infty \right[$, et si g est la fonction définie par : $g\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-f\left(x\right)}$, alors :

   1. g est strictement croissante sur $I=\left[10;+\infty \right[$ ;
   2. on ne peut pas déterminer le sens de variations de g ;
   3. g est strictement décroissante sur $I=\left[10;+\infty \right[$.

   théorème :

   Soit u une fonction définie sur un intervalle I. Les fonctions u et ${\mathrm{e}}^u$ ont les mêmes variations sur I.

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3. Si F est la primitive de f sur I, qui prend la valeur ${\displaystyle \frac{3}{7}}$ en 1 et si ${\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(t\right)\mathrm{d}t}={\displaystyle \frac{2}{5}}$ alors :

   1. $F\left(0\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ;
   2. $F\left(0\right)={\displaystyle \frac{1}{35}}$ ;
   3. on ne peut pas déterminer $F\left(0\right)$.

   Si F est une primitive de f alors ${\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(t\right)\mathrm{d}t}=F\left(1\right)-F\left(0\right)$

4. Si la fonction u est définie par $u\left(x\right)=\ln \left[f\left(x\right)\right]$ alors :

   1. la fonction u est définie sur $I=\left]0;+\infty \right[$ ;
   2. la fonction u est définie sur I ;
   3. on ne peut pas donner le domaine de définition de la fonction u.

   théorème :

   Les fonctions u et $\ln u$ ont les mêmes variations sur un intervalle où la fonction u est strictement positive.

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