sujet : Polynésie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthogonal.
Le graphique ci-dessous représente une partie de la courbe représentative C d'une fonction F définie et dérivable sur $\left[0;4\right]$. On désigne par f la fonction dérivée de F sur l'ensemble des nombres réels $ℝ$.
La courbe C passe par l'origine O du repère et par les points $A\left(1;{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$, $B\left(3;{\displaystyle \frac{9}{2}}\right)$ et $D\left(2;2\right)$
La courbe C admet en A et en D une tangente horizontale.
On désigne par T, la tangente à C au point O ; cette tangente T passe par le point de coordonnées $\left(1;6\right)$.

1. Que représente la fonction F pour la fonction f ?

   f est la dérivée de la fonction F donc F est la primitive de la fonction f qui s'annule en 0.

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2. À partir du graphique et des données de l'énoncé, dresser le tableau de variations de F sur $\left[0;3\right]$.

   x	0		1		2		3
   $F\left(x\right)$	0		${\displaystyle \frac{5}{2}}$		2		${\displaystyle \frac{9}{2}}$

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3. 1. Déterminer graphiquement l'équation réduite de la droite T.

      La droite T passe par l'origine du repère et le point de coordonnées $\left(1;6\right)$. Donc :

      La droite T a pour équation $y=6x$

      ---

   2. En déduire $f\left(0\right)$.

      Le nombre dérivé $f\left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0. Donc $f\left(0\right)=6$

      ---

4. Indiquer sur quel(s) intervalle(s) la fonction f est positive.

   f est la dérivée de la fonction F par conséquent, la fonction f est positive sur tout intervalle où la fonction F est croissante.

   La fonction f est positive sur $\left[0;1\right]\cup \left[2;4\right]$

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5. Déterminer la valeur exacte de l'intégrale ${\displaystyle {\int }_1^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   F est une primitive de f sur $\left[0;4\right]$ donc $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_1^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(3\right)-F\left(1\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{9}{2}}-{\displaystyle \frac{5}{2}}\\ & =& 2\end{array}$$

   ${\displaystyle {\int }_1^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=2$

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6. Dans cette question, le candidat est invité  à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.
   Soit G une autre fonction primitive de f sur $\left[0;4\right]$, telle que $G\left(0\right)=1$. Calculer $G\left(3\right)$.

   Si G est une autre fonction primitive de f sur $\left[0;4\right]$ alors il existe un réel k tel que $G\left(x\right)=F\left(x\right)+k$ . D'où $$\begin{array}{ccc}G\left(0\right)=F\left(0\right)+k& \text{Soit}& 1=0+k\iff k=1\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel $x\in \left[0;4\right]$, $G\left(x\right)=F\left(x\right)+1$ . Par conséquent, $$G\left(3\right)=F\left(3\right)+1={\displaystyle \frac{9}{2}}+1={\displaystyle \frac{11}{2}}$$

   $G\left(3\right)={\displaystyle \frac{11}{2}}$

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