On considère une population donnée d'une île de Bretagne se rendant régulièrement sur le continent. Deux compagnies maritimes A et B effectuent la traversée.
En 2008, 60% de la population voyage avec la compagnie A. Les campagnes publicitaires font évoluer cette répartition. Une enquête indique alors que chaque année 20% des clients de la compagnie A l'abandonnent au profit de la compagnie B et que 10% des clients de la compagnie B choisissent la compagnie A.
Pour tout entier naturel n, l'état probabiliste de l'année 2008 + n est défini par la matrice ligne où désigne la proportion de la population qui voyage avec la compagnie A et la proportion de la population qui voyage avec la compagnie B.
Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.
Écrire la matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre.
Préciser l'état initial puis montrer que .
Déterminer la répartition prévisible du trafic entre les compagnies A et B en 2011.
Déterminer l'état stable et l'interpréter.
théorème :
Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0. Alors :
— l'état à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial ;
— de plus, P est l'unique solution de l'équation où avec .
Montrer que, pour tout entier naturel n,
est la matrice traduisant l'état probabiliste l'année 2008 + n alors pour tout entier n, et . Soit
On admet que, pour tout entier naturel n, .
Déterminer la limite de la suite et l'interpréter.
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