sujet : Liban

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des  questions, une seule des réponses  A, B, C ou D est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte enlève 0,25 point. L'absence de réponse  ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à 0

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1. A et B sont deux évènements indépendants et on sait que $p\left(A\right)=\mathrm{0,5}$ et $p\left(B\right)=\mathrm{0,2}$. La probabilité de l'évènement $A\cup B$ est égale à :

   Dire que les évènements A et B de probabilités non nulles, sont indépendants signifie que : $$\begin{array}{ccc}p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)\times p\left(B\right)& \text{Soit}& p\left(A\cap B\right)=\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,1}\end{array}$$

   D'autre part, $$\begin{array}{ccc}p\left(A\cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right)-p\left(A\cap B\right)& \text{Soit}& p\left(A\cup B\right)=\mathrm{0,5}+\mathrm{0,2}-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,6}\end{array}$$

   réponse A : 0,1

   réponse B : 0,6

   réponse C : 0,7

   réponse D : on ne peut pas savoir

2. Dans un magasin, un bac contient des cahiers soldés. On sait que 50% des cahiers ont une reliure spirale et que 75% des cahiers sont à grands carreaux. Parmi les cahiers à grands carreaux, 40% ont une reliure spirale. Adèle choisit au hasard un cahier à reliure spirale. La probabilité qu'il soit à grands carreaux est :

   Notons S l'événement : « le cahier a une reliure spirale » et C l'événement : « le cahier est à grands carreaux ». Nous avons : $$\begin{array}{ccccc}p\left(S\right)=\mathrm{0,5}& \text{;}& p\left(C\right)=\mathrm{0,75}& \text{et}& p_C\left(S\right)=\mathrm{0,4}\end{array}$$

   La probabilité de l'événement : « le cahier est à grands carreaux » sachant que l'événement : « le cahier a une reliure spirale » est réalisé, est $$p_S\left(C\right)={\displaystyle \frac{p\left(S\cap C\right)}{p\left(S\right)}}$$ Or $$p\left(S\cap C\right)=p_C\left(S\right)\times p\left(C\right)$$ Soit $$p_S\left(C\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,75}}{\mathrm{0,5}}}=\mathrm{0,6}$$

   réponse A : 0,3

   réponse B : 0,5

   réponse C : 0,6

   réponse D : 0,75

   Dans les questions 3 et 4, on suppose que dans ce magasin, un autre bac contient une grande quantité de stylos-feutres en promotion. On sait que 25% de ces stylos-feutres sont verts. Albert prélève au hasard et de manière indépendante 3 stylos-feutres.

   Dans les deux questions suivantes, on s'intéresse uniquement à la réalisation de l'évènement « le stylo-feutre est vert » noté V ou à sa non réalisation $\overline{V}$ . Prélèver au hasard et de manière indépendante 3 stylos-feutres est modélisé par la répétition de trois expériences de Bernoulli indépendantes :

   La loi de probabilité associée au nombre de stylos-feutres verts est une loi binomiale de paramètres 0,25 et 3.

3. La probabilité, arrondie à 10^-3 près, qu'il prenne au moins un stylo-feutre vert est égale à :

   L'évènement A « au moins un des trois stylos-feutres est vert » est l'évènement contraire de l'évènement « les trois stylos-feutres ne sont pas verts ». D'où : $$p\left(A\right)=1-{\mathrm{0,75}}^3\approx \mathrm{0,578}$$

   réponse A : 0,250

   réponse B : 0,422

   réponse C : 0,578

   réponse D : 0,984

4. La probabilité, arrondie à 10^-3 près, qu'il prenne exactement 2 stylos-feutres verts est égale à :

   Il y a trois issues $VV\overline{V}$, $V\overline{V}V$ et $\overline{V}VV$ qui correspondent à l'évènement B « exactement 2 stylos-feutres sont verts ». D'où : $$p\left(B\right)=3\times \mathrm{0,75}\times {\mathrm{0,25}}^2\approx \mathrm{0,141}$$

   réponse A : 0,047

   réponse B : 0,063

   réponse C : 0,141

   réponse D : 0,500

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