sujet : Liban

correction de l'exercice 4 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. L'évolution du chiffre d'affaires du groupe de distribution Enville pour la période 2004-2008 est donnée dans le tableau 1 ci-dessous :

   Tableau 1 :

   Année	2004	2005	2006	2007	2008
   Progression du chiffre d'affaires par rapport à l'année précédente	4,7%	10,6%	4,1%	5,8%	7,5%

   Par exemple, le chiffre d'affaires du groupe a augmenté de 10,6% entre le 31 décembre 2004 et le 31 décembre 2005.

   1. Montrer qu'une valeur approchée à 0,1 près du pourcentage annuel moyen d'augmentation, est 6,5.

      Le coefficient multiplicateur associé au taux d'évolution du chiffre d'affaires est :$$\mathrm{1,047}\times \mathrm{1,106}\times \mathrm{1,041}\times \mathrm{1,058}\times \mathrm{1,075}\approx \mathrm{1,371}$$

      Le coefficient multiplicateur associé à un taux d'évolution moyen annuel de t % est égal à $1+{\displaystyle \frac{t}{100}}$. Par conséquent t vérifie $$\begin{array}{ccc}{\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^5=\mathrm{1,371}& \iff & \left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)={\mathrm{1,371}}^{\frac{1}{5}}\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}={\mathrm{1,371}}^{\mathrm{0,2}}-1\hfill \\ & \text{Soit}& t\approx \mathrm{6,5}\hfill \end{array}$$

      Arrondi à 0,1 près, le pourcentage annuel moyen d'augmentation du chiffre d'affaires est égal à 6,5 %.

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   2. En 2008, ce groupe a réalisé un chiffre d'affaires de 59,5 milliards d'euros. La direction prévoit une croissance annuelle de 6,5% pour les années suivantes.
      Donner une estimation à 0,1 milliard d'euros près du chiffre d'affaires du groupe pour l'année 2010.

      Avec une croissance annuelle de 6,5%, le chiffre d'affaires du groupe pour l'année 2010 serait de $$\mathrm{59,5}\times {\mathrm{1,065}}^2\approx \mathrm{67,5}$$

      En 2010, le groupe devrait réaliser un chiffre d'affaires de 67,5 milliards d'euros.

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2. L'évolution, sur 8 ans du chiffre d'affaires du groupe Aupré, concurrent du groupe Enville, est donné par le tableau 2 ci-dessous :

   Tableau 2 :

   Année	2001	2003	2005	2007	2008
   Rang de l'année $x_i$	1	3	5	7	8
   Chiffre d'affaires exprimé en milliards d'euros $y_i$	64,8	68,7	72,7	77,1	82,1

   Pour cette question tous les résultats seront arrondis au dixième près

   1. Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points associé à la série $\left(x_i;y_i\right)$ en prenant comme origine le point de coordonnées $\left(0;60\right)$ (unités graphiques : 1cm sur l'axe des abscisses et 0,5cm sur l'axe des ordonnées).

   2. En utilisant la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, l'équation de la droite d'ajustement affine de y en x. Tracer cette droite sur le graphique.

      Une équation de la droite d d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $y=\mathrm{2,3}x+\mathrm{61,8}$ (coefficients arrondis au dixième)

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   3. À l'aide de l'ajustement précédent, déterminer graphiquement une estimation du chiffre d'affaires du groupe Aupré pour l'année 2010. On laissera apparents les traits de construction.

      Le rang de l'années 2010 est égal à 10. Or le point de la droite d'ajustement d'abscisse 10 à pour ordonnée 84,8 ( ou éventuellement avec la précision permise par le graphique 85)

      Le chiffre d'affaires du groupe Aupré pour l'année 2010 serait d'environ 84,8 milliards d'euros.

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3. Dans cette question, on suppose qu'à partir de 2008 le chiffre d'affaires du groupe Enville progresse chaque année de 6,5% et celui de Aupré de 3%.

   1. Résoudre l'inéquation $\mathrm{59,5}\times {\mathrm{1,065}}^n>\mathrm{82,1}\times {\mathrm{1,03}}^n$.

      $$\begin{array}{ccc}\mathrm{59,5}\times {\mathrm{1,065}}^n>\mathrm{82,1}\times {\mathrm{1,03}}^n& \iff & {\left({\displaystyle \frac{\mathrm{1,065}}{\mathrm{1,03}}}\right)}^n>{\displaystyle \frac{\mathrm{82,1}}{\mathrm{59,5}}}\hfill \\ & \iff & \ln {\left({\displaystyle \frac{\mathrm{1,065}}{\mathrm{1,03}}}\right)}^n>\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{82,1}}{\mathrm{59,5}}}\right)\hfill \\ & \iff & n\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{1,065}}{\mathrm{1,03}}}\right)>\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{82,1}}{\mathrm{59,5}}}\right)\hfill \\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{82,1}}{\mathrm{59,5}}}\right)}{\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{1,065}}{\mathrm{1,03}}}\right)}}\hfill \end{array}$$

      L'ensemble des solutions de l'inéquation $\mathrm{59,5}\times {\mathrm{1,065}}^n>\mathrm{82,1}\times {\mathrm{1,03}}^n$ est $\left]{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{82,1}-\ln \mathrm{59,5}}{\ln \mathrm{1,065}-\ln \mathrm{1,03}}};+\infty \right[$.

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   2. Déterminer à partir de quelle année le chiffre d'affaires du groupe Enville dépassera celui du groupe Aupré.

      À partir de 2008 :

      • le chiffre d'affaires du groupe Enville progresse chaque année de 6,5% donc l'année 2008 + n, le chiffre d'affaires du groupe Enville sera $$\mathrm{59,5}\times {\mathrm{1,065}}^n$$

      • le chiffre d'affaires du groupe Aupré progresse chaque année de 3% donc l'année 2008 + n, le chiffre d'affaires du groupe Aupré sera $$\mathrm{82,1}\times {\mathrm{1,03}}^n$$

      Par conséquent, l'année 2008 + n à partir de laquelle le chiffre d'affaires du groupe Enville dépassera celui du groupe Aupré est obtenue pour le plus petit entier n solution de l'inéquation $$\begin{array}{ccc}\mathrm{59,5}\times {\mathrm{1,065}}^n>\mathrm{82,1}\times {\mathrm{1,03}}^n& \text{Soit}& n>{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{82,1}-\ln \mathrm{59,5}}{\ln \mathrm{1,065}-\ln \mathrm{1,03}}}\end{array}$$ Or ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{82,1}-\ln \mathrm{59,5}}{\ln \mathrm{1,065}-\ln \mathrm{1,03}}}\approx \mathrm{9,6}$. D'où $n=10$

      Le chiffre d'affaires du groupe Enville dépassera celui du groupe Aupré en 2018.

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