Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à 0
A et B sont deux évènements indépendants et on sait que et .
La probabilité de l'évènement est égale à :
réponse A : 0,1 | réponse B : 0,6 | réponse C : 0,7 | réponse D : on ne peut pas savoir |
Dans un magasin, un bac contient des cahiers soldés. On sait que 50% des cahiers ont une reliure spirale et que 75% des cahiers sont à grands carreaux. Parmi les cahiers à grands carreaux, 40% ont une reliure spirale.
Adèle choisit au hasard un cahier à reliure spirale. La probabilité qu'il soit à grands carreaux est :
réponse A : 0,3 | réponse B : 0,5 | réponse C : 0,6 | réponse D : 0,75 |
Dans les questions 3 et 4, on suppose que dans ce magasin, un autre bac contient une grande quantité de stylos-feutres en promotion. On sait que 25% de ces stylos-feutres sont verts. Albert prélève au hasard et de manière indépendante 3 stylos-feutres.
La probabilité, arrondie à 10-3 près, qu'il prenne au moins un stylo-feutre vert est égale à :
réponse A : 0,250 | réponse B : 0,422 | réponse C : 0,578 | réponse D : 0,984 |
La probabilité, arrondie à 10-3 près, qu'il prenne exactement 2 stylos-feutres verts est égale à :
réponse A : 0,047 | réponse B : 0,063 | réponse C : 0,141 | réponse D : 0,500 |
On considère la fonction g définie sur par où k et a sont des nombres fixés. Sur la figure donnée en annexe, la courbe C représentant la fonction g et la droite D d'équation sont tracées dans un repère orthogonal (unités 2 cm pour l'axe des abscisses, 1 cm pour l'axe des ordonnées). Le point E a pour coordonnées et le point F a pour coordonnées .
On précise que la droite (EF) est tangente à la courbe C au point E et la courbe C admet au point B une tangente horizontale.
On note la dérivée de la fonction g.
Par lecture graphique, déterminer la valeur de .
Par lecture graphique, déterminer la valeur de .
Exprimer en fonction de a et k
En utilisant les résultats précédents, déterminer les valeurs de k et a. On justifiera les calculs.
Dans la suite de l'exercice, on prendra
Démontrer que la droite D est asymptote à la courbe C en .
On admet que la courbe C est située au dessus de la droite D. Soit S le domaine délimité par la courbe C, la droite D, l'axe des ordonnées et la droite d'équation .
Hachurer S sur le graphique.
Calculer, en cm2, l'aire A du domaine S. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à 0,1cm2 près.
Dans cette question, toutetrace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer la valeur exacte de l'abscisse du point B.
On considère la fonction f définie sur l'intervalle par .
Déterminer la limite de f en 0.
Calculer la valeur exacte de , puis une valeur approchée à 0,01 près.
Montrer que pour tout x de l'intervalle , où désigne la dérivée de la fonction f.
On admet que la fonction dérivée est strictement décroissante sur et que son tableau de variations est le suivant :
x | 0 | 20 | |||
À l'aide du tableau de variations, donner le signe de pour x appartenant à l'intervalle .
Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle et dresser son tableau de variations sur cet intervalle.
Montrer que sur l'intervalle , l'équation possède une unique solution notée α. À la calculatrice, donner une valeur approchée de α à 0,001 près par excès.
Démontrer que est négatif pour tout et que est positif pour tout .
Une entreprise produit et vend chaque semaine x milliers de DVD, x appartenant à . Le bénéfice réalisé est égal à milliers d'euros où f est la fonction étudiée dans la partie A.
En utilisant les résultats de la partie A :
déterminer le nombre minimal de DVD à fabriquer pour que le bénéfice soit positif ;
déterminer le nombre de DVD à produire pour que le bénéfice soit maximal ainsi que la valeur, à 10 euros près, de ce bénéfice maximal.
L'évolution du chiffre d'affaires du groupe de distribution Enville pour la période 2004-2008 est donnée dans le tableau 1 ci-dessous :
Tableau 1 :
Année | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 |
Progression du chiffre d'affaires par rapport à l'année précédente | 4,7% | 10,6% | 4,1% | 5,8% | 7,5% |
Par exemple, le chiffre d'affaires du groupe a augmenté de 10,6% entre le 31 décembre 2004 et le 31 décembre 2005.
Montrer qu'une valeur approchée à 0,1 près du pourcentage annuel moyen d'augmentation, est 6,5.
En 2008, ce groupe a réalisé un chiffre d'affaires de 59,5 milliards d'euros. La direction prévoit une croissance annuelle de 6,5% pour les années suivantes.
Donner une estimation à 0,1 milliard d'euros près du chiffre d'affaires du groupe pour l'année 2010.
L'évolution, sur 8 ans du chiffre d'affaires du groupe Aupré, concurrent du groupe Enville, est donné par le tableau 2 ci-dessous :
Tableau 2 :
Année | 2001 | 2003 | 2005 | 2007 | 2008 |
Rang de l'année | 1 | 3 | 5 | 7 | 8 |
Chiffre d'affaires exprimé en milliards d'euros | 64,8 | 68,7 | 72,7 | 77,1 | 82,1 |
Pour cette question tous les résultats seront arrondis au dixième près
Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points associé à la série en prenant comme origine le point de coordonnées (unités graphiques : 1cm sur l'axe des abscisses et 0,5cm sur l'axe des ordonnées).
En utilisant la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, l'équation de la droite d'ajustement affine de y en x. Tracer cette droite sur le graphique.
À l'aide de l'ajustement précédent, déterminer graphiquement une estimation du chiffre d'affaires du groupe Aupré pour l'année 2010. On laissera apparents les traits de construction.
Dans cette question, on suppose qu'à partir de 2008 le chiffre d'affaires du groupe Enville progresse chaque année de 6,5% et celui de Aupré de 3%.
Résoudre l'inéquation .
Déterminer à partir de quelle année le chiffre d'affaires du groupe Enville dépassera celui du groupe Aupré.
Deux chaînes de télévision A et B programment chaque semaine, à la même heure, deux émissions concurrentes. On suppose que le nombre global de téléspectateurs de ces émissions reste constant. La première semaine, 70% de ces téléspectateurs ont regardés la chaîne A.
Une étude statistique montre que :
15% des téléspectateurs qui ont regardé la chaîne A une semaine, regardent la chaîne B la semaine suivante.
10% des téléspectateurs qui ont regardé la chaîne B une semaine, regardent la chaîne A la semaine suivante.
On note respectivement et les proportions de téléspectateurs des chaînes A et B la n-ième semaine et la matrice ligne . On a donc
Déterminer le graphe probabiliste représentant la situation.
Donner la matrice de transition M associée à ce graphe.
Calculer à l'aide de la calculatrice, donner les résultats en arrondissant à 10−3 près.
Quelle est la répartition des téléspectateurs entre les deux chaînes la quatrième semaine ?
On considère la matrice ligne , où a et b sont deux réels tels que .
Déterminer a et b pour que
Interpréter les deux valeurs trouvées.
On admet que pour tout entier naturel on a : .
Résoudre l'équation .
À partir de quelle semaine l'audience de l'émission de la chaîne B dépassera-t-elle celle de l'émission de la chaîne A ?
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