sujet : Liban

Corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

On considère la fonction g définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=x+k{\mathrm{e}}^{ax}$ où k et a sont des nombres fixés. Sur la figure donnée en annexe, la courbe C représentant la fonction g et la droite D d'équation $y=x$ sont tracées dans un repère orthogonal (unités 2 cm pour l'axe des abscisses, 1 cm pour l'axe des ordonnées). Le point E a pour coordonnées $\left(0;6\right)$ et le point F a pour coordonnées $\left(3;0\right)$.
On précise que la droite (EF)  est tangente à la courbe C au point E et la courbe C admet au point B une tangente horizontale.
On note $g\prime$ la dérivée de la fonction g.

1. 1. Par lecture graphique, déterminer la valeur de $g\left(0\right)$.

      $E\left(0;6\right)$ est un point de la courbe C représentant la fonction g donc $g\left(0\right)=6$.

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   2. Par lecture graphique, déterminer la valeur de $g\prime \left(0\right)$.

      Le nombre dérivé $g\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la droite (EF)  tangente à la courbe C au point E d'abscisse 0.$$\begin{array}{ccc}g\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{y_F-y_E}{x_F-x_E}}& \text{Soit}& g\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{0-6}{3-0}}=-2\end{array}$$

      Ainsi, $g\prime \left(0\right)=-2$.

      ---

   3. Exprimer $g\prime \left(x\right)$ en fonction de a et k

      Pour tout réel x, posons $u\left(x\right)=k{\mathrm{e}}^{ax}$ d'où $u\prime \left(x\right)=k\times a\times {\mathrm{e}}^{ax}$.

      Nous avons $g\left(x\right)=x+u\left(x\right)$ d'où $g\prime \left(x\right)=1+u\prime \left(x\right)$

      $g\prime$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $g\prime \left(x\right)=1+k\times a\times {\mathrm{e}}^{ax}$

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   4. En utilisant les résultats précédents, déterminer les valeurs de k et a. On justifiera les calculs.

      • $g\left(0\right)=6$ d'où $$\begin{array}{ccc}0+k{\mathrm{e}}^{a\times 0}=6& \text{Soit}& k=6\end{array}$$

      • $g\prime \left(0\right)=-2$ d'où $$\begin{array}{ccccc}1+k\times a\times {\mathrm{e}}^0=-2& \text{Soit}& 1+6\times a=-2& \iff & a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=x+6{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$

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2. Démontrer que la droite D est asymptote à la courbe C en $+\infty$.

   $g\left(x\right)-x=6{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$

   Or $\underset{x\to +\infty }{\lim }-\mathrm{0,5}x=-\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^X=0$ alors par composition, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}=0$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }6{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}=0$

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)-x=0$ alors, la droite D d'équation $y=x$ est asymptote à la courbe C en $+\infty$.

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3. On admet que la courbe C est située au dessus de la droite D. Soit S le domaine délimité par la courbe C, la droite D, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=4$.

   1. Hachurer S sur le graphique.

   2. Calculer, en cm², l'aire A du domaine S. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée à 0,1cm² près.

      La courbe C est située au dessus de la droite D d'équation $x=4$ alors, l'aire A, exprimée en unités d'aire, du domaine S délimité par la courbe C, la droite D, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=4$ est :$$\begin{array}{ccc}A={\displaystyle {\int }_0^4\left(g\left(x\right)-x\right)\mathrm{d}x}& \text{Soit}& A={\displaystyle {\int }_0^{4}6{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\mathrm{d}x}\hfill \\ & \iff & A={\displaystyle {\left[{\displaystyle \frac{6}{-\mathrm{0,5}}}\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\right]}_0^4}\hfill \\ & \iff & A=\left(-12\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}\times 4}\right)-\left(-12\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}\times 0}\right)\hfill \\ & \iff & A=12-12\times {\mathrm{e}}^{-2}\hfill \end{array}$$

      Or l'unité d'aire est égale à l'aire d'un rectangle de 2 cm²

      L'aire A du domaine S est égale à $\left(24-24\times {\mathrm{e}}^{-2}\right){\mathrm{cm}}^2$. Soit arrondie à 0,1cm² près, 20,8 cm².

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4. Dans cette question, toutetrace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
   Déterminer la valeur exacte de l'abscisse du point B.

   La courbe C admet au point B une tangente horizontale alors, l'abscisse du point B est solution de l'équation $g\prime \left(x\right)=0$.

   Or d'après les résultats établis dans la première question, $g\prime \left(x\right)=1-3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$. Donc l'abscisse du point B est solution de l'équation :$$\begin{array}{ccc}1-3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}=0& \iff & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}={\displaystyle \frac{1}{3}}\hfill \\ & \iff & -\mathrm{0,5}x=\ln \left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\hfill \\ & \iff & x={\displaystyle \frac{-\ln \left(3\right)}{-\mathrm{0,5}}}\hfill \\ & \iff & x=2\ln \left(3\right)\hfill \end{array}$$

   L'abscisse du point B est égale à $\ln 9$

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