Baccalauréat juin 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban

Corrigé de l'exercice 4 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Deux chaînes de télévision A et B programment chaque semaine, à la même heure, deux émissions concurrentes. On suppose que le nombre global de téléspectateurs de ces émissions reste constant. La première semaine, 70% de ces téléspectateurs ont regardés la chaîne A.
Une étude statistique montre que :
15% des téléspectateurs qui ont regardé la chaîne A une semaine, regardent la chaîne B la semaine suivante.
10% des téléspectateurs qui ont regardé la chaîne B une semaine, regardent la chaîne A la semaine suivante.
On note respectivement $a_{n}$ et $b_{n}$ les proportions de téléspectateurs des chaînes A et B la n-ième semaine et $P_{n}$ la matrice ligne $(\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ . On a donc $P_{1} = (\begin{matrix} 0,7 & 0,3 \end{matrix})$

1. Déterminer le graphe probabiliste représentant la situation.
  Notons A l' état probabiliste : « un vacancier choisi le minibus » et B l' état probabiliste : « un vacancier choisi la bicyclette ».
  Soient $A_{n}$ l'évènement : « un téléspectateur regarde la chaîne A la n-ième semaine » et $B_{n}$ l'évènement : « un téléspectateur regarde la chaîne B la n-ième semaine ».
  15% des téléspectateurs qui ont regardé la chaîne A une semaine, regardent la chaîne B la semaine suivante. Donc $\begin{matrix} p_{A_{n}} (B_{n + 1}) = 0,15 & d'où & p_{A_{n}} (A_{n + 1}) = 1 - 0,15 = 0,85 \end{matrix}$ 10% des téléspectateurs qui ont regardé la chaîne B une semaine, regardent la chaîne A la semaine suivante. Donc $\begin{matrix} p_{B_{n}} (A_{n + 1}) = 0,1 & d'où & p_{B_{n}} (B_{n + 1}) = 1 - 0,1 = 0,9 \end{matrix}$
  Le graphe probabiliste qui représente la situation est donc :
2. Donner la matrice de transition M associée à ce graphe.
  La matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre est $M = (\begin{array}{l} 0,85 & 0,15 \\ 0,1 & 0,9 \end{array})$
Calculer $M^{3}$ à l'aide de la calculatrice, donner les résultats en arrondissant à 10⁻³ près. Quelle est la répartition des téléspectateurs entre les deux chaînes la quatrième semaine ?
$M^{3} = (\begin{matrix} 0,653 & 0,347 \\ 0,231 & 0,769 \end{matrix})$ (coefficients arrondis au millième).
La matrice ligne décrivant l'état probabiliste la quatrième semaine est $\begin{matrix} P_{4} = P_{1} \times M^{3} & Soit & P_{4} = (\begin{matrix} 0,7 & 0,3 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,653 & 0,347 \\ 0,231 & 0,769 \end{matrix}) \\ \Leftrightarrow & P_{4} = (\begin{matrix} 0,7 \times 0,653 + 0,3 \times 0,231 & 0,7 \times 0,347 + 0,3 \times 0,769 \end{matrix}) \\ \Leftrightarrow & P_{4} = (\begin{matrix} 0,5264 & 0,4736 \end{matrix}) \end{matrix}$
La quatrième semaine, environ 52,6% des téléspectateurs ont regardés la chaîne A et 47,4% des téléspectateurs ont regardés la chaîne B.
On considère la matrice ligne $P = (\begin{matrix} a & b \end{matrix})$ , où a et b sont deux réels tels que $a + b = 1$ .
1. Déterminer a et b pour que $P = P M$
  $P = P M$ et $a + b = 1$ alors $\begin{matrix} (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) \times (\begin{array}{l} 0,85 & 0,15 \\ 0,1 & 0,9 \end{array}) \end{matrix}$ avec $a + b = 1$ . D'où a et b sont solutions du système $\begin{matrix} {\begin{array}{rcl} a & = & 0,85 a + 0,1 b \\ b & = & 0,15 a + 0,9 b \\ a + b & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} 0,15 x - 0,1 b & = & 0 \\ - 0,15 a + 0,1 b & = & 0 \\ a + b & = & 1 \end{array} \end{matrix}$
  Soit a et b solutions du système $\begin{matrix} {\begin{array}{rcl} 0,15 a - 0,1 b & = & 0 \\ a + b & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} 0,25 a & = & 0,1 \\ a + b & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} a & = & 0,4 \\ b & = & 0,6 \end{array} \end{matrix}$
  L'état stable du système est $P = (\begin{matrix} 0,4 & 0,6 \end{matrix})$ .
2. Interpréter les deux valeurs trouvées.
  Les termes de la matrice de tansition M du graphe probabiliste d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état $P_{n}$ converge vers un état stable $P = (\begin{matrix} 0,4 & 0,6 \end{matrix})$ indépendant de l'état initial.
  À long terme, d'une semaine sur l'autre, 40% des téléspectateurs regarderont la chaîne A et 60% des téléspectateurs regarderont la chaîne B.
On admet que pour tout entier naturel $n > 0$ on a : $a_{n} = 0,4 + 0,3 \times ({0,75}^{n - 1})$ .
1. Résoudre l'équation $a_{n} < 0,5$ .
  $\begin{matrix} 0,4 + 0,3 \times ({0,75}^{n - 1}) < 0,5 & \Leftrightarrow & 0,3 \times ({0,75}^{n - 1}) < 0,1 \\ \Leftrightarrow & {0,75}^{n - 1} < \frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow & \ln {0,75}^{n - 1} < \ln \frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow & (n - 1) \ln 0,75 < - \ln 3 \\ \Leftrightarrow & n - 1 > - \frac{\ln 3}{\ln 0,75} & \ln 0,75 < 0 \\ \Leftrightarrow & n > 1 - \frac{\ln 3}{\ln 0,75} \end{matrix}$
  Or n est un entier et $1 - \frac{\ln 3}{\ln 0,75} \approx 4,8$ donc :
  L'inéquation $a_{n} < 0,5$ a pour solutions l'ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à 5.
2. À partir de quelle semaine l'audience de l'émission de la chaîne B dépassera-t-elle celle de l'émission de la chaîne A ?
  D'après la question précédente, l'audience de l'émission de la chaîne B dépassera celle de l'émission de la chaîne A à partir de la cinquième semaine.

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