sujet : Liban

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left]0;20\right]$ par $f\left(x\right)=\left(3{\mathrm{e}}^2-x\right)\ln x+10$.

1. 1. Déterminer la limite de f en 0.

   2. Calculer la valeur exacte de $f\left({\mathrm{e}}^2\right)$, puis une valeur approchée à 0,01 près.

2. Montrer que pour tout x de l'intervalle $\left]0;20\right]$, $f\prime \left(x\right)=-\ln x+{\displaystyle \frac{3{\mathrm{e}}^2}{x}}-1$ où $f\prime$ désigne la dérivée de la fonction f.

3. On admet que la fonction dérivée $f\prime$ est strictement décroissante sur $\left]0;20\right]$ et que son tableau de variations est le suivant :

   x		0		${\mathrm{e}}^2$	20
   $f\prime \left(x\right)$			$+\infty$		$f\prime \left(20\right)$

   1. À l'aide du tableau de variations, donner le signe de $f\prime \left(x\right)$ pour x appartenant à l'intervalle $\left]0;20\right]$.

   2. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;20\right]$ et dresser son tableau de variations sur cet intervalle.

4. 1. Montrer que sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,6};\mathrm{0,7}\right]$, l'équation $f\left(x\right)=0$ possède une unique solution notée α. À la calculatrice, donner une valeur approchée de α à 0,001 près par excès.

      théorème de la valeur intermédiaire :

      Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   2. Démontrer que $f\left(x\right)$ est négatif pour tout $x\in \left]0;\alpha \right[$ et que $f\left(x\right)$ est positif pour tout $x\in \left]\alpha ;20\right]$.

partie b

Une entreprise produit et vend chaque semaine x milliers de DVD, x appartenant à $\left]0;20\right]$. Le bénéfice réalisé est égal à $f\left(x\right)$ milliers d'euros où f est la fonction étudiée dans la partie A.
En utilisant les résultats de la partie A :

1. déterminer le nombre minimal de DVD à fabriquer pour que le bénéfice soit positif ;

2. déterminer le nombre de DVD à produire pour que le bénéfice soit maximal ainsi que la valeur, à 10 euros près, de ce bénéfice maximal.

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.