On considère la fonction f définie sur l'intervalle par .
Déterminer la limite de f en 0.
et alors par produit, . D'où
Ainsi,
Calculer la valeur exacte de , puis une valeur approchée à 0,01 près.
. Soit arrondi à 0,01 près .
Montrer que pour tout x de l'intervalle , où désigne la dérivée de la fonction f.
Pour tout réel x de l'intervalle , posons
Alors et . Soit pour tout réel x de l'intervalle ,
Ainsi, est la fonction définie sur par .
On admet que la fonction dérivée est strictement décroissante sur et que son tableau de variations est le suivant :
x | 0 | 20 | |||
À l'aide du tableau de variations, donner le signe de pour x appartenant à l'intervalle .
La fonction dérivée est strictement décroissante sur donc
Donc pour x appartenant à l'intervalle , et pour x appartenant à l'intervalle ,
Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle et dresser son tableau de variations sur cet intervalle.
Les variations de la fonction f sur l'intervalle se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variations :
x | 0 | 20 | |||||
Montrer que sur l'intervalle , l'équation possède une unique solution notée α. À la calculatrice, donner une valeur approchée de α à 0,001 près par excès.
Sur l'intervalle , la fonction f est strictement croissante, dérivable donc continue et Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle ., l'équation admet une solution unique .
Ainsi, l'équation admet une solution unique . Une valeur approchée de α à 0,001 près par excès est 0,629
Démontrer que est négatif pour tout et que est positif pour tout .
Sur l'intervalle , f est strictement croissante donc sur cet intervalle,
Sur l'intervalle , f est strictement décroissante donc sur cet intervalle, Or . Donc si alors,
Ainsi, est négatif pour tout et est positif pour tout .
Une entreprise produit et vend chaque semaine x milliers de DVD, x appartenant à . Le bénéfice réalisé est égal à milliers d'euros où f est la fonction étudiée dans la partie A.
En utilisant les résultats de la partie A :
déterminer le nombre minimal de DVD à fabriquer pour que le bénéfice soit positif ;
D'après la question 4, le bénéfice est positif pour . Soit pour
Pour que le bénéfice soit positif, il faut fabriquer et vendre au moins 629 DVD.
Déterminer le nombre de DVD à produire pour que le bénéfice soit maximal ainsi que la valeur, à 10 euros près, de ce bénéfice maximal.
D'après les variations de la fonction f, le bénéfice maximal est obtenu pour la fabrication et la vente de milliers d'articles. Or
Arrondi à 10 euros près, le bénéfice maximal est de 39560 €, obtenu pour la fabrication et la vente de 7390 DVD (ou 7389 DVD).
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