Baccalauréat juin 2010 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0;20] par f(x)=(3e2-x)lnx+10.

    1. Déterminer la limite de f en 0.

      limx0(3e2-x)=3e2 et limx0lnx=- alors par produit, limx0(3e2-x)lnx=-. D'où limx0(3e2-x)lnx+10=-

      Ainsi, limx0f(x)=-


    2. Calculer la valeur exacte de f(e2), puis une valeur approchée à 0,01 près.

      f(e2)=(3e2-e2)ln(e2)+10=2e2×2lne+10lne=1=4e2+10

      f(e2)=4e2+10. Soit arrondi à 0,01 près f(e2)39,56.


  1. Montrer que pour tout x de l'intervalle ]0;20], f(x)=-lnx+3e2x-1f désigne la dérivée de la fonction f.

    Pour tout réel x de l'intervalle ]0;20], posons u(x)=3e2-xd'oùu(x)=-1etv(x)=lnxd'oùv(x)=1x

    Alors f=u×v+10 et f=u×v+u×v. Soit pour tout réel x de l'intervalle ]0;20], f(x)=-lnx+(3e2-x)×1x=-lnx+3e2x-1

    Ainsi, f est la fonction définie sur ]0;20] par f(x)=-lnx+3e2x-1 .


  2. On admet que la fonction dérivée f est strictement décroissante sur ]0;20] et que son tableau de variations est le suivant :

    x 0 e220
    f(x) 

    +

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    f(20)

    1. À l'aide du tableau de variations, donner le signe de f(x) pour x appartenant à l'intervalle ]0;20].

      La fonction dérivée f est strictement décroissante sur ]0;20] donc xe2f(x)f(e2)Soitxe2f(x)0

      Donc pour x appartenant à l'intervalle ]0;e2], f(x)0 et pour x appartenant à l'intervalle [e2;20], f(x)0


    2. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ]0;20] et dresser son tableau de variations sur cet intervalle.

      Les variations de la fonction f sur l'intervalle ]0;20] se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variations :

      x 0  e2 20
      f(x)    0||  
      f(x)  

      -

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      4e2+10

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      f(20)

    1. Montrer que sur l'intervalle [0,6;0,7], l'équation f(x)=0 possède une unique solution notée α. À la calculatrice, donner une valeur approchée de α à 0,001 près par excès.

      f(0,6)-1etf(0,7)2,3

      Sur l'intervalle [0,6;0,7], la fonction f est strictement croissante, dérivable donc continue et f(0,6)<0<f(0,7) Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b]., l'équation f(x)=0 admet une solution unique α[0,6;0,7].

      Ainsi, l'équation f(x)=0 admet une solution unique α[0,6;0,7]. Une valeur approchée de α à 0,001 près par excès est 0,629


    2. Démontrer que f(x) est négatif pour tout x]0;α[ et que f(x) est positif pour tout x]α;20].

      • Sur l'intervalle ]0;e2], f est strictement croissante donc sur cet intervalle, x<αf(x)<f(α)Soitx<αf(x)<0

      • Sur l'intervalle [e2;20], f est strictement décroissante donc sur cet intervalle, x20f(x)f(20) Or f(20)16,5. Donc si e2x20 alors, f(x)>0

      Ainsi, f(x) est négatif pour tout x]0;α[ et f(x) est positif pour tout x]α;20].


partie b

Une entreprise produit et vend chaque semaine x milliers de DVD, x appartenant à ]0;20]. Le bénéfice réalisé est égal à f(x) milliers d'euros où f est la fonction étudiée dans la partie A.
En utilisant les résultats de la partie A :

  1. déterminer le nombre minimal de DVD à fabriquer pour que le bénéfice soit positif ;

    D'après la question 4, le bénéfice est positif pour x]α;20]. Soit pour x0,629

    Pour que le bénéfice soit positif, il faut fabriquer et vendre au moins 629 DVD.


  2. Déterminer le nombre de DVD à produire pour que le bénéfice soit maximal ainsi que la valeur, à 10 euros près, de ce bénéfice maximal.

    D'après les variations de la fonction f, le bénéfice maximal est obtenu pour la fabrication et la vente de e2 milliers d'articles. Or 7,389<e2<7,390etf(7,389)f(7,390)39,56

    Arrondi à 10 euros près, le bénéfice maximal est de 39560 €, obtenu pour la fabrication et la vente de 7390 DVD (ou 7389 DVD).



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