Pierre, le président d'un club de judo. veut acheter 60 médailles ayant la même référence. Elles sont gravées à l'effigie d'une ou d'un champion Doullet, Rinar ou Vécosse. Il passe commande chez un grossiste qui travaille avec deux fournisseurs A et B. Le tableau suivant indique les caractéristiques du colis contenant les 60 médailles envoyées par le grossiste :
Doullet | Rinar | Vécosse | Total | |
Fournisseur A | 10 | 10 | 10 | 30 |
Fournisseur B | 5 | 10 | 15 | 30 |
Total | 15 | 20 | 25 | 60 |
Pierre reçoit le colis, et tire au hasard une médaille. Dans la suite de l'exercice, on suppose que chaque médaille a la même probabilité d'être tirée.
Montrer que la probabilité que cette médaille soit à l'effigie de Vécosse est égale à .
Notons V l'évènement « la médaille est à l'effigie de Vécosse ». Il y 25 médailles à l'effigie de Vécosse sur les 60 médailles envoyées par le grossiste et chaque médaille a la même probabilité d'être tirée d'où :
La probabilité que cette médaille soit à l'effigie de Vécosse est égale à .
Quelle est la probabilité que cette médaille soit à l'effigie de Vécosse et provienne du fournisseur B ?
Notons B l'évènement « la médaille provient du fournisseur B ». Le fournisseur B a fourni 15 médailles à l'effigie de Vécosse sur les 60 médailles d'où :
La probabilité que cette médaille soit à l'effigie de Vécosse et provienne du fournisseur B est égale à .
Pierre constate que la médaille tirée est à l'effigie de Vécosse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne du fournisseur B ?
Sur les 25 médailles à l'effigie de Vécosse 15 médailles proviennent du fournisseur B d'où :
La probabilité que cette médaille provienne du fournisseur B sachant qu'elle est à l'effigie de Vécosse est égale à .
Pierre remet la médaille dans le colis.
Pierre répète maintenant trois fois de suite les mêmes gestes :
− il tire au hasard une médaille ;
− il note l'effigie du champion et remet la médaille dans le colis.
Quelle est la probabilité qu'au moins une des médailles soit à l'effigie de Vécosse ?
Comme Pierre remet à chaque fois la médaille dans le colis, la situation est modélisée par la répétition de trois épreuves de Bernoulli indépendantes.
La loi de probabilité associée au nombre médailles à l'effigie de Vécosse est une loi binomiale de paramètres 3 et .
L'évènement « au moins une des trois médailles est à l'effigie de Vécosse » est l'évènement contraire de l'évènement « aucune des trois médailles n'est à l'effigie de Vécosse ».
D'où la probabilité P cherchée :
Arrondie au millième près, la probabilité qu'au moins une des médailles soit à l'effigie de Vécosse est 0,802.
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