sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On s'intéresse au nombre de personnes atteintes d'une maladie A ou d'une maladie B en France entre 1970 et 2005.
Les données ont été représentées graphiquement sur l'annexe (à rendre avec la copie). On précise que sur l'axe des abscisses, le rang zéro correspond à l'année 1970, le rang cinq à l'année 1975.

partie i. Maladie A

1. À l'aide de la calculatrice et en arrondissant les coefficients à l'unité, donner l'équation réduite de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.

   Une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est $y=-89x+4697$ ( coefficients arrondis à l'unité).

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2. Tracer cette droite dans le repère situé sur l'annexe.

3. En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2011, quelle prévision peut-on faire du nombre de personnes qui seront atteintes de cette maladie A en France en 2011 ?

   Le rang de l'année 2011 est 41 et $$-89\times 41+4697=1048$$

   Selon cet ajustement, il y aurait 1048 personnes qui seraient atteintes de la maladie A en France en 2011.

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partie ii. Maladie B

1. À partir des données du graphique concernant la maladie B (fournies en annexe), un ajustement affine parait-il approprié ? Justifier votre réponse.

   Question pour le moins "incongrue" le nuage de points étant déjà ajusté par une courbe du second degré. Mais on peut répondre éventuellement :

   Le nuage de points n'a pas une forme allongée donc un ajustement affine n'est pas approprié.

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2. On admet que la courbe Γ tracée sur l'annexe représente un ajustement du nuage, valable jusqu'en 2011. Lire le nombre prévisible de personnes qui seront atteintes de la maladie B en 2011.

   Avec la précision permise par le dessin, environ 7200 personnes seront atteintes de la maladie B en 2011.

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3. La courbe Γ est une parabole d'équation $y=a{x}^2+bx+c$, a étant un nombre réel non nul, b et c étant des nombres réels. La courbe Γ passe par les points $P\left(0;1700\right)$, $Q\left(10;1950\right)$ et $R\left(20;2900\right)$.

   1. Justifier que $c=1700$.

      Les coordonnées du point $P\left(0;1700\right)$ vérifient l'équation de la parabole Γ donc $c=1700$

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   2. Déterminer les nombres réels a et b.

      Les coordonnées des points $Q\left(10;1950\right)$ et $R\left(20;2900\right)$ vérifient l'équation de la parabole Γ donc a et b sont les solutions du système :$$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{ccc}\hfill 100a+10b+1700& =& 1950\hfill \\ \hfill 400a+20b+1700& =& 2900\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{ccc}\hfill 10a+b& =& 25\hfill \\ \hfill 20a+b& =& 60\hfill \end{array}\hfill \\ & \iff & \{\begin{array}{ccc}\hfill 10a+b& =& 25\hfill \\ \hfill 10a& =& 35\hfill \end{array}\hfill \\ & \iff & \{\begin{array}{ccc}\hfill b& =& -10\hfill \\ \hfill a& =& \mathrm{3,5}\hfill \end{array}\hfill \end{array}$$

      La parabole Γ a pour équation $y=\mathrm{3,5}{x}^2-10x+1700$.

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   3. En déduire le nombre prévisible de personnes qui seront atteintes de la maladie B en 2011.

      Nous avons :$$\mathrm{3,5}\times {41}^2-10\times 41+1700=\mathrm{7173,5}$$

      Selon cet ajustement, il y aurait 7174 personnes qui seraient atteintes de la maladie B en France en 2011.

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