Baccalauréat septembre 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique chaque mois x tonnes d'un certain produit, avec x appartenant à l'intervalle ]0;6]. Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production mensuelle de x tonnes est donné par C(x), où C est la fonction définie par  C(x)=0,01ex+2x

  1. À l'aide de la calculatrice :

    1. conjecturer en terme de variations l'évolution du coût moyen de fabrication sur l'intervalle ]0;6] ;

      courbe représentative

      L'observation de la courbe représentative de la fonction C obtenue à la calculatrice, permet de conjecturer les variations de la fonction C
      (Choisir comme fenêtre de la représentation : xmin = 0 ; xmax = 6 ; ymin = 0 et ymax = 6)

      Tableau de variation :

      x 0   6
      C(x)   fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.   fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.  

    2. estimer le minimum du coût moyen de fabrication et la production mensuelle correspondante ;

      Après le tracé de la courbe représentative de la fonction C il est possible d'obtenir une estimation du minimum de la fonction à l'aide de la calculatrice comme on peut le voir sur les copies d'écran ci-dessous :

      Menu calcul choisir l'option minimumBorne inférieure : saisir 1Borne supérieure : saisir 6Estimation du minimum
      menuborne inférieureborne supéérieureminimum

      Il semblerait que le coût moyen minimal soit d'environ 635 € obtenu pour une production mensuelle de 4,15 tonnes.


    3. dire s'il est possible d'atteindre un coût moyen de fabrication de 4000 euros. On précisera la méthode utilisée.

      courbes représentatives

      La droite d'équation y=4 coupe la courbe représentative de la fonction C en un point donc l'équation C(x)=4 admet au moins une solution.

      Il est possible d'atteindre un coût moyen de fabrication de 4000 euros pour une production mensuelle d'environ 0,504 tonnes.


  2. On désigne par C la fonction dérivée de la fonction C. Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle ]0;6] : C(x)=0,01xex-0,01ex-2x2

    La fonction C est dérivable sur l'intervalle ]0;6] comme quotient de deux fonctions dérivables. C=uv d'où C=uv-uvv2 avec pour tout réel x]0;6], u(x)=0,01ex+2d'oùu(x)=0,01exetv(x)=xd'oùv(x)=1

    Soit pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0;6], C(x)=0,01xex-(0,01ex+2)x2=0,01xex-0,01ex-2x2

    Ainsi, C est la fonction définie sur l'intervalle ]0;6] par C(x)=0,01xex-0,01ex-2x2


  3. On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0;6] par f(x)=0,01xex-0,01ex-2. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f.

    1. Vérifier que pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle ]0;6], f(x)=0,01xex.

      Sur l'intervalle ]0;6] la fonction x0,01xex est dérivable comme produit u×v de deux fonctions dérivables. Sa dérivée est de la forme uv+uv avec pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle ]0;6], u(x)=0,01x ; u(x)=0,01 ; v(x)=ex et v(x)=ex

      La fonction f est dérivable comme somme de fonctions dérivables et pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle ]0;6], f(x)=(0,01ex+0,01xex)-0,01ex=0,01xex

      Ainsi, f est la fonction définie sur l'intervalle ]0;6] par f(x)=0,01xex


    2. Justifier que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0;6].

      Pour tout nombre réel x strictement positif, xex>0 par conséquent :

      f(x)>0 donc la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0;6].


    3. Justifier que l'équation f(x)=0 admet une seule solution α appartenant à l'intervalle [4;5]. Donner la valeur arrondie au dixième du nombre réel α.

      La fonction f est dérivable sur l'intervalle ]0;6] donc continue sur cet intervalle. D'autre part, f(4)=0,04e4-0,01e4-2=0,03e4-2-0,36f(5)=0,05e5-0,01e5-2=0,04e5-23,94

      Ainsi, sur l'intervalle [4;5], la fonction f est continue, strictement croissante, et f(4)<0<f(5). Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire,Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b]. l'équation f(x)=0 admet une solution unique α dans l'intervalle [4;5]

      L'équation f(x)=0 admet une seule solution α4,2


    4. Déduire des résultats précédents le signe de f(x) sur l'intervalle ]0;6].

      Sur l'intervalle ]0;6], la fonction f est strictement croissante et f(α)=0 donc :

      − si x]0;α] alors f(x)0 ;
      − si x[α;6] alors f(x)0.


  4. À l'aide des questions précédentes, justifier que le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de α tonnes du produit.

    C(x)=0,01xex-0,01ex-2x2 soit avec les notations précédentes, C(x)=f(x)x2.
    Or pour tout nombre réel x strictement positif, x2>0 donc sur l'intervalle ]0;6], C(x) est du même signe que f(x).

    Les variations de la fonction C se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de C :

    x 0 α 6
    C(x)  0||+ 
    C(x)   fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    f(α)

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

    Le coût moyen de fabrication minimum est obtenu pour une production mensuelle de α tonnes du produit, soit environ 4,2 tonnes.



Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.