Baccalauréat septembre 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

La société « Vélibre », spécialisée dans la location de vélos, a été créée en janvier 2010 avec un parc de 150 vélos neufs.
Afin de conserver un parc de bonne qualité, le directeur de la société a décidé :

de racheter 40 vélos neufs en janvier de chaque année ;
de revendre 20% des vélos en janvier 2011 et en janvier 2012 ;
de revendre 20% au moins des vélos les plus usagés en janvier de chaque année suivante.

Pour tout nombre entier naturel n, on modélise le nombre approximatif de vélos du parc en janvier de l'année 2010 + n par les termes de la suite $(U_{n})$ définie pour tout nombre entier naturel n par $\begin{matrix} U_{n + 1} = 0,8 U_{n} + 40 & et & U_{0} = 150 \end{matrix}$ Vérifier que $U_{1}$ et $U_{2}$ correspondent bien au nombre prévu de vélos du parc pour janvier 2011 et janvier 2012.

Pour connaître l'évolution du nombre approximatif de vélos du parc, le directeur utilise un tableur. Voici un extrait de sa feuille de calcul :

	A	B	C	D	E
1	Valeur de n	Valeur de $U_{n}$		Valeur de n	Valeur de $U_{n}$
2	0	150		18	199,10
3	1	160		19	199,28
4	2	168		20	199,42
5	3	174,4		21	199,54
6	4	179,52		22	199,63
7	5	183,62		23	199,70
8	6	186,89		24	199,76
9	7	189,51		25	199,81
10	8	191,61		26	199,85
11	9	193,29		27	199,88
12	10	194,63		28	199,90
13	11	195,71		29	199,92
15	12	196,56		30	199,94

Conjecturer le sens de variation de la suite $(U_{n})$ .
Quelle semble être la limite de la suite $(U_{n})$ ?

Pour tout nombre entier naturel n, on pose $V_{n} = U_{n} - 200$ .
1. Prouver que la suite $(V_{n})$ est géométrique de raison 0,8. Déterminer son premier terme.
2. En déduire, pour tout nombre entier naturel n, l'expression de $V_{n}$ puis celle de $U_{n}$ en fonction du nombre entier n.
3. Déterminer la limite de la suite $(U_{n})$ .
  $0 < 0,8 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,8}^{n} = 0$
4. Démontrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a $U_{n + 1} - U_{n} = 10 \times {0,8}^{n}$
5. En déduire le sens de variation de la suite $(U_{n})$ .
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
La municipalité prévoit d'implanter de nouvelles bornes dans la ville afin d'offrir aux usagers 250 emplacements. La société « Vélibre » pourra-t-elle satisfaire cette demande? Argumenter la réponse.
La suite $(U_{n})$ est strictement croissante et converge vers 200 …

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indifférent :

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