Une entreprise fabrique chaque mois x tonnes d'un certain produit, avec x appartenant à l'intervalle . Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production mensuelle de x tonnes est donné par , où C est la fonction définie par
À l'aide de la calculatrice :
conjecturer en terme de variations l'évolution du coût moyen de fabrication sur l'intervalle ;
estimer le minimum du coût moyen de fabrication et la production mensuelle correspondante ;
dire s'il est possible d'atteindre un coût moyen de fabrication de 4000 euros. On précisera la méthode utilisée.
On désigne par la fonction dérivée de la fonction C. Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle :
On considère la fonction f définie sur l'intervalle par . On désigne par la fonction dérivée de la fonction f.
Vérifier que pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle , .
Justifier que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle .
Justifier que l'équation admet une seule solution α appartenant à l'intervalle .
Donner la valeur arrondie au dixième du nombre réel α.
théorème de la valeur intermédiaire :
Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle .
Déduire des résultats précédents le signe de sur l'intervalle .
La fonction f est strictement croissante donc si alors soit
À l'aide des questions précédentes, justifier que le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de α tonnes du produit.
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