Baccalauréat septembre 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique chaque mois x tonnes d'un certain produit, avec x appartenant à l'intervalle ]0;6]. Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production mensuelle de x tonnes est donné par C(x), où C est la fonction définie par  C(x)=0,01ex+2x

  1. À l'aide de la calculatrice :

    1. conjecturer en terme de variations l'évolution du coût moyen de fabrication sur l'intervalle ]0;6] ;

    2. estimer le minimum du coût moyen de fabrication et la production mensuelle correspondante ;

    3. dire s'il est possible d'atteindre un coût moyen de fabrication de 4000 euros. On précisera la méthode utilisée.

  2. On désigne par C la fonction dérivée de la fonction C. Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle ]0;6] : C(x)=0,01xex-0,01ex-2x2

  3. On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0;6] par f(x)=0,01xex-0,01ex-2. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f.

    1. Vérifier que pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle ]0;6], f(x)=0,01xex.

    2. Justifier que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0;6].

    3. Justifier que l'équation f(x)=0 admet une seule solution α appartenant à l'intervalle [4;5].
      Donner la valeur arrondie au dixième du nombre réel α.

      théorème de la valeur intermédiaire :

      Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b].

    4. Déduire des résultats précédents le signe de f(x) sur l'intervalle ]0;6].

      La fonction f est strictement croissante donc si 0<x<α alors f(x)<f(α) soit f(x)<

  4. À l'aide des questions précédentes, justifier que le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de α  tonnes du produit.


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