Baccalauréat septembre 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: France Métropolitaine

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Pierre, le président d'un club de judo. veut acheter 60 médailles ayant la même référence. Elles sont gravées à l'effigie d'une ou d'un champion Doullet, Rinar ou Vécosse. Il passe commande chez un grossiste qui travaille avec deux fournisseurs A et B. Le tableau suivant indique les caractéristiques du colis contenant les 60 médailles envoyées par le grossiste :

 DoulletRinarVécosseTotal
Fournisseur A10101030
Fournisseur B5101530
Total15202560

Pierre reçoit le colis, et tire au hasard une médaille. Dans la suite de l'exercice, on suppose que chaque médaille a la même probabilité d'être tirée.

    1. Montrer que la probabilité que cette médaille soit à l'effigie de Vécosse est égale à 512.

    2. Quelle est la probabilité que cette médaille soit à l'effigie de Vécosse et provienne du fournisseur B ?

    3. Pierre constate que la médaille tirée est à l'effigie de Vécosse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne du fournisseur B ?

    Pierre remet la médaille dans le colis.

  1. Pierre répète maintenant trois fois de suite les mêmes gestes :

    • il tire au hasard une médaille ;
    • il note l'effigie du champion et remet la médaille dans le colis.

    Quelle est la probabilité qu'au moins une des médailles soit à l'effigie de Vécosse ?


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On s'intéresse au nombre de personnes atteintes d'une maladie A ou d'une maladie B en France entre 1970 et 2005.
Les données ont été représentées graphiquement sur l'annexe (à rendre avec la copie). On précise que sur l'axe des abscisses, le rang zéro correspond à l'année 1970, le rang cinq à l'année 1975.

partie i. Maladie A

On envisage un ajustement affine du nuage de points correspondant à la maladie A. Voici une partie des données :

Année 19701975198019851990199520002005
Rang de l'année : xi05101520253035
Nombre de personnes atteintes de la maladie A : yi48844303371331752836235220111789
  1. À l'aide de la calculatrice et en arrondissant les coefficients à l'unité, donner l'équation réduite de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.

  2. Tracer cette droite dans le repère situé sur l'annexe.

  3. En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2011, quelle prévision peut-on faire du nombre de personnes qui seront atteintes de cette maladie A en France en 2011 ?

partie ii. Maladie B

  1. À partir des données du graphique concernant la maladie B (fournies en annexe), un ajustement affine parait-il approprié ? Justifier votre réponse.

  2. On admet que la courbe Γ tracée sur l'annexe représente un ajustement du nuage, valable jusqu'en 2011.
    Lire le nombre prévisible de personnes qui seront atteintes de la maladie B en 2011.

  3. La courbe Γ est une parabole d'équation y=ax2+bx+c, a étant un nombre réel non nul, b et c étant des nombres réels. La courbe Γ passe par les points P01700, Q101950 et R202900.

    1. Justifier que c=1700.

    2. Déterminer les nombres réels a et b.

    3. En déduire le nombre prévisible de personnes qui seront atteintes de la maladie B en 2011.

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EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

La société « Vélibre », spécialisée dans la location de vélos, a été créée en janvier 2010 avec un parc de 150 vélos neufs.
Afin de conserver un parc de bonne qualité, le directeur de la société a décidé :

  1. Pour tout nombre entier naturel n, on modélise le nombre approximatif de vélos du parc en janvier de l'année 2010 + n par les termes de la suite Un définie pour tout nombre entier naturel n par Un+1=0,8Un+40etU0=150 Vérifier que U1 et U2 correspondent bien au nombre prévu de vélos du parc pour janvier 2011 et janvier 2012.

  2. Pour connaître l'évolution du nombre approximatif de vélos du parc, le directeur utilise un tableur. Voici un extrait de sa feuille de calcul :

     ABCDE
    1Valeur de nValeur de Un Valeur de nValeur de Un
    2 0150 18199,10
    3 1160 19199,28
    4 2168 20199,42
    5 3174,4 21199,54
    64179,52 22199,63
    7 5183,62 23199,70
    8 6186,89 24199,76
    97189,51 25199,81
    10 8191,61 26199,85
    119193,29 27199,88
    12 10194,63 28199,90
    13 11195,71 29199,92
    1512196,56 30199,94
    1. Conjecturer le sens de variation de la suite Un.

    2. Quelle semble être la limite de la suite Un ?

  3. Pour tout nombre entier naturel n, on pose Vn=Un-200.

    1. Prouver que la suite Vn est géométrique de raison 0,8. Déterminer son premier terme.

    2. En déduire, pour tout nombre entier naturel n, l'expression de Vn puis celle de Un en fonction du nombre entier n.

    3. Déterminer la limite de la suite Un.

    4. Démontrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a Un+1-Un=10×0,8n

    5. En déduire le sens de variation de la suite Un.

  4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

    La municipalité prévoit d'implanter de nouvelles bornes dans la ville afin d'offrir aux usagers 250 emplacements. La société « Vélibre » pourra-t-elle satisfaire cette demande? Argumenter la réponse.


exercice 3 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique chaque mois x tonnes d'un certain produit, avec x appartenant à l'intervalle 06. Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production mensuelle de x tonnes est donné par Cx, où C est la fonction définie par  Cx=0,01ex+2x

  1. À l'aide de la calculatrice :

    1. conjecturer en terme de variations l'évolution du coût moyen de fabrication sur l'intervalle 06 ;

    2. estimer le minimum du coût moyen de fabrication et la production mensuelle correspondante ;

    3. dire s'il est possible d'atteindre un coût moyen de fabrication de 4000 euros. On précisera la méthode utilisée.

  2. On désigne par C la fonction dérivée de la fonction C. Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle 06 : Cx=0,01xex-0,01ex-2x2

  3. On considère la fonction f définie sur l'intervalle 06 par fx=0,01xex-0,01ex-2. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f.

    1. Vérifier que pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle 06, fx=0,01xex.

    2. Justifier que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle 06.

    3. Justifier que l'équation fx=0 admet une seule solution α appartenant à l'intervalle 45.
      Donner la valeur arrondie au dixième du nombre réel α.

    4. Déduire des résultats précédents le signe de fx sur l'intervalle 06.

  4. À l'aide des questions précédentes, justifier que le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de α  tonnes du produit.


exercice 4 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte.
Recopier le numéro de chaque question et préciser la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point; une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

  1. En septembre 2009, la T.V.A. dans la restauration est passée de 19,6% à 5,5%. En août 2009, une brasserie proposait un menu à 12,70 € (T.V.A incluse). Le responsable a appliqué ce changement de T.V.A. Quel était en septembre 2009 le prix de ce menu après le changement de T.V.A. (arrondi au centime)?

    1. 10,91 €
    2. 11,20 €
    3. 12,70 €
  2. La fonction f est définie sur l'intervalle 0+ par fx=ln100+x. Comment varie la fonction f ?

    1. la fonction f est décroissante sur l'intervalle 0+.
    2. la fonction f est constante sur l'intervalle 0+.
    3. la fonction f est croissante sur l'intervalle 0+.
  3. Quelle est la valeur de l'intégrale 013x-x2dx ?

    1. 0
    2. 76
    3. 2
  4. La fonction g est définie sur l'intervalle 04 par gx=lnx. Parmi les trois courbes suivantes, laquelle représente une primitive de la fonction g ?

    a.b.c.
    Courbe représentative a : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe représentative b : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe représentative c : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


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