Baccalauréat mai 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice constitue un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, indiquer sur votre copie le numéro de la question et la seule réponse exacte.
Barème : Une réponse correcte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.

On considère la fonction f définie par $f (x) = \ln (1 - x^{2})$ . On note $C_{f}$ la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé.
1. L'ensemble de définition de la fonction f est :
  f est définie pour tout réel x tel que $1 - x^{2} > 0$ . Or le tableau du signe du polynôme du second degré $1 - x^{2}$ est :
  x $- \infty$ − 1 1 $- \infty$
  Signe de $1 - x^{2}$ − $0_{|}^{|}$ + $0_{|}^{|}$ −
  Ainsi, la fonction f est définie sur l'intervalle $] - 1; 1 [$ .
  $] 0; + \infty [$ $[- 1; 1]$
  $] - 1; 1 [$
  $] 1; + \infty [$
2. Le point de $C_{f}$ d' abscisse $\frac{1}{2}$ a pour ordonnée :
  $f (\frac{1}{2}) = \ln (1 - {(\frac{1}{2})}^{2}) = \ln (\frac{3}{4}) = \ln 3 - \ln 4 = \ln 3 - 2 \ln 2$
  $\ln (\frac{1}{2})$ $\ln 1 - \ln (\frac{1}{2})$
  $\ln 3 - 2 \ln 2$
  − 0,2876820725
On considère à présent la fonction g définie sur $] 1; + \infty [$ par $g (x) = \ln (\ln x)$
1. Sur $] 1; + \infty [$ , l'inéquation $g (x) > 0$ admet comme ensemble de solutions :
  Pour tout réel $x > 1$ , $\begin{matrix} \ln (\ln x) > 0 & \Leftrightarrow & \ln x > 1 & \Leftrightarrow & x > e \end{matrix}$
  L'ensemble solution de l'inéquation $g (x) > 0$ est $] e; + \infty [$
  $] 1; e [$ $] 1; + \infty [$
  $] e; + \infty [$
  $[e; + \infty [$
2. Sur $] 1; + \infty [$ , l'expression de la dérivée de la fonction g est égale à :
  $\begin{matrix} g' (x) & = & \frac{\frac{1}{x}}{\ln x} & = & \frac{1}{x \ln x} \end{matrix}$
  $\frac{1}{\ln x}$ $\frac{1}{x} \times \frac{1}{x}$ x
  $\frac{1}{x \ln x}$

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x	$- \infty$		− 1		1		$- \infty$
Signe de $1 - x^{2}$		−	$0_{\|}^{\|}$	+	$0_{\|}^{\|}$	−