Baccalauréat mai 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban

indications pour l'exercice 4 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

En 2010, les clients d'une banque nationale se répartissent en deux catégories distinctes :

En 2010, 92 % des clients sont des clients d'agence et 8 % des clients sont des clients internet.
On admet que chaque année, 5 % des clients d'agence deviennent clients internet et inversement 1 % des clients internet deviennent clients d'agence.

On suppose que le nombre de clients de la banque reste constant au cours du temps et qu'un client ne peut faire partie des deux catégories.

On s'intéresse à l'évolution de la répartition des clients de cette banque dans les années à venir.
On note pour tout entier naturel n :

On note M la matrice de transition, telle que pour tout entier naturel n, Pn+1=Pn×M.

partie a : État stable d'un graphe probabiliste

Dans cette partie, on donnera des valeurs approchées arrondies au centième.

  1. Déterminer le graphe probabiliste correspondant à cette situation.

  2. Donner P0 la matrice traduisant l'état probabiliste initial.

  3. On admettra que M=(0,950,050,010,99).

    1. Calculer la matrice P1.

    2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la répartition des clients de la banque en 2015.

  4. Déterminer, par le calcul, l'état stable de la répartition des clients. Interpréter le résultat.

    Les termes de la matrice de tansition M du graphe probabiliste d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état Pn converge indépendamment de l'état initial, vers un état stable P=(xy) avec P=PM et x+y=1.

partie b : Étude de la limite d'une suite récurrente

    1. À l'aide de la relation Pn+1=Pn×M, exprimer an+1 en fonction de an et in.

    2. En déduire que pour tout entier naturel n, an+1=0,94an+0,01.

  1. On définit la suite (un) par un=an-16 pour tout entier naturel n.

    1. Montrer que la suite (un) est une suite, géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

    2. En déduire l'expression de un en fonction de n.

    3. En déduire que pour tout entier naturel n, an=113150×0,94n+16.

    4. Déterminer la limite de la suite (an) lorsque n tend vers + . Interpréter le résultat.

      0<0,94<1 donc limn+0,94n=0


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