sujet : Liban

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On considère les fonctions f , g et h définies sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}$, $g\left(x\right)=-x+1$ et $h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$.
On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction f et Δ la droite représentant la fonction g dans un repère orthonormé du plan.

partie a : Position relative de $C_f$ et de l'une de ses tangentes.

1. Vérifier, par le calcul, que la tangente à $C_f$ au point d'abscisse 0 est la droite Δ .

   $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}$ d'où $f\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}$. Nous avons $f\left(0\right)={\mathrm{e}}^0=1$ et $f\prime \left(0\right)=-1$.

   Une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0 est : $$\begin{array}{ccc}y=f\prime \left(0\right)\times \left(x-0\right)+f\left(0\right)& \text{Soit}& y=-x+1\end{array}$$

   La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0 est la droite Δ d'équation $y=-x+1$

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2. 1. Montrer que pour tout $x\in ℝ$, $h\prime \left(x\right)=1-{\mathrm{e}}^{-x}$.

      La fonction h est définie sur $ℝ$ par $h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ soit $h\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}+x-1$ d'où $h\prime \left(x\right)=1-{\mathrm{e}}^{-x}$.

      Ainsi, $h\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $h\prime \left(x\right)=1-{\mathrm{e}}^{-x}$.

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   2. Étudier le signe de $h\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs de x.

      Nous avons :$$\begin{array}{ccc}1-{\mathrm{e}}^{-x}⩽0& \iff & -{\mathrm{e}}^{-x}⩽-1\hfill \\ & \iff & {\mathrm{e}}^{-x}⩾1\hfill \\ & \iff & -x⩾0\hfill \\ & \iff & x⩽0\hfill \end{array}$$ D'autre part, $h\left(0\right)=1-{\mathrm{e}}^0=0$. D'où le tableau du signe de $h\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs de x :

      x	$-\infty$		0		$-\infty$
      Signe de $h\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+

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   3. En déduire le sens de variation de la fonction h sur $ℝ$.

      Les variations de la fonction h se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de h :

      x	$-\infty$		0		$-\infty$
      $h\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+
      $h\left(x\right)$			0

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3. En utilisant les questions 1. et 2., étudier la position relative de la courbe $C_f$ et de sa tangente au point d'abscisse 0.

   Les positions relatives de la courbe $C_f$ et de la droite Δ se déduisent du signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

   Or d'après la question précédente, le minimum de la fonction h est 0. Donc pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)⩾0$

   La courbe $C_f$ est au dessus de sa tangente au point d'abscisse 0.

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partie b : Calcul d'aire

1. Montrer que ${\displaystyle {\int }_0^{1}h\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$.

   La fonction h est définie sur $ℝ$ par $h\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}+x-1$ d'où une primitive sur $ℝ$ de la fonction h est la fonction H définie pour tout réel x par $H\left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x$

   $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_0^{1}h\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[-{\mathrm{e}}^{-x}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x\right]}_0^1}\hfill \\ & =& \left[\left(-{\mathrm{e}}^{-1}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-1\right)-\left(-1\right)\right]\hfill \\ & =& -{\mathrm{e}}^{-1}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\hfill \end{array}$$

   ${\displaystyle {\int }_0^{1}h\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$

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2. Dans cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte dans l'évaluation.
   Soit a un nombre réel vérifiant $a>1$. On appelle D le domaine colorié sur le graphique. On note A l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine D.

   1. Déterminer en fonction de a la valeur de A.

      Les fonctions f et h sont continues et positives sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$. L'aire A, exprimée en unité d'aire, du domaine D est égale à la somme des aires $A_1$ et $A_2$ où :

      • $A_1$ est l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine $D_1$ compris entre la courbe $C_f$, la droite Δ, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$
      • $A_2$ est l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine $D_a$ compris entre la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=a$

      Soit $$A={\displaystyle {\int }_0^{1}h\left(x\right)\mathrm{d}x}+{\displaystyle {\int }_1^{a}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

      Or une primitive sur $ℝ$ de la fonction f est la fonction F définie pour tout réel x par $F\left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}$. D'où $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_0^{1}h\left(x\right)\mathrm{d}x}+{\displaystyle {\int }_1^{a}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}+{\displaystyle {\left[-{\mathrm{e}}^{-x}\right]}_1^a}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}-{\mathrm{e}}^{-a}+{\mathrm{e}}^{-1}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}-{\mathrm{e}}^{-a}\hfill \end{array}$$

      $A={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\mathrm{e}}^{-a}$

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   2. Déterminer la limite de A lorsque a tend vers $+\infty$ .

      $\underset{a\to +\infty }{\lim }-a=-\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^X=0$ donc par composition,$\underset{a\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-a}=0$ d'où $\underset{a\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\mathrm{e}}^{-a}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

      Ainsi, $\underset{a\to +\infty }{\lim }A\left(a\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

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