Baccalauréat mai 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban

correction de l'exercice 4 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On rappelle que pour tout évènement A et B d'un univers :

  • l'évènement « A et B » est noté AB,
  • la probabilité de l'évènement A est notée P(A),
  • si P(A)0, alors la probabilité conditionnelle de B sachant A est notée PA(B).

Lors de l'année de terminale ES, les trois quarts des élèves travaillent sérieusement tout au long de l'année scolaire.
Un candidat au baccalauréat ES a une probabilité de 0,9 d'obtenir son bac s'il a travaillé sérieusement et une probabilité de 0,2 s'il n'a pas travaillé sérieusement pendant l'année scolaire.
Un candidat est dit surpris s'il est admis alors qu'il n'a pas travaillé sérieusement pendant l'année scolaire ou bien s'il est refusé et qu'il a travaillé sérieusement pendant l'année scolaire.
On note :

  • T l'évènement « le candidat a travaillé sérieusement »
  • A l'évènement « le candidat est admis au baccalauréat ES »
  • S l'évènement « Le candidat est surpris ».

On interroge au hasard un candidat au baccalauréat ES.

Dans tout l'exercice, on donnera des valeurs approchées arrondies au millième.

  1. Construire un arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé.

    Lors de l'année de terminale ES, les trois quarts des élèves travaillent sérieusement tout au long de l'année d'où P(T)=0,75 et P(T¯)=0,25

    Un candidat au baccalauréat ES a une probabilité de 0,9 d'obtenir son bac s'il a travaillé sérieusement et une probabilité de 0,2 s'il n'a pas travaillé sérieusement pendant l'année scolaire d'où PT(A)=0,9 et PT¯(A)=0,2. Nous pouvons en déduire que PT(A¯)=0,1 et PT¯(A¯)=0,8

    D'où l'arbre de probabilité traduisant les données de l'énoncé :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Déterminer la probabilité des évènements suivants :

    1. TA

      P(TA)=P(T)×PT(A). Soit P(TA)=0,75×0,9=0,675


    2. TA¯

      P(TA¯)=P(T)×PT(A¯). Soit P(TA¯)=0,75×0,1=0,075


    3. T¯A

      P(T¯A)=P(T¯)×PT¯(A). Soit P(T¯A)=0,25×0,2=0,05


    4. T¯A¯

      P(T¯A¯)=P(T¯)×PT¯(A¯). Soit P(T¯A¯)=0,25×0,8=0,2


    1. Déterminer la probabilité que le candidat interrogé soit admis.

      Les évènements T et A déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
      P(A)=P(TA)+P(T¯A)soitP(A)=0,675+0,05=0,725

      Ainsi, la probabilité que le candidat interrogé soit admis est égale à 0,725.


    2. Le candidat est admis. Déterminer la probabilité que ce candidat ait travaillé sérieusement pendant l'année scolaire.

      PA(T)=P(TA)P(A)soitPA(T)=0,6750,7250,931

      Arrondie à 10 − 3 près, la probabilité qu'un candidat admis ait travaillé sérieusement pendant l'année scolaire est 0,931.


  3. Démontrer que la probabilité de l'évènement S est 0,125.

    Un candidat est dit surpris s'il est admis alors qu'il n'a pas travaillé sérieusement pendant l'année scolaire ou bien s'il est refusé et qu'il a travaillé sérieusement pendant l'année scolaire. D'où P(S)=P(TA¯)+P(T¯A)soitP(S)=0,075+0,05=0,125

    La probabilité qu'un candidat soit surpris est égale à 0,125.


  4. On interroge trois élèves au hasard. Calculer la probabilité qu'au moins un élève soit surpris ?

    Interroger trois élèves au hasard est la répétition de trois épreuves de Bernoulli indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de candidats surpris est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,125.

    L'évènement « au moins un élève soit surpris » est l'évènement contraire de l'évènement E « les trois élèves interrogés ne sont pas surpris ».

    Or P(S¯)=1-0,125=0,875 d'où P(E)=0,8753 et P(E¯)=1-0,87530,33

    La probabilité qu'au moins un des trois élèves soit surpris est 0,33.



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