sujet : Liban

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On considère les fonctions f , g et h définies sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}$, $g\left(x\right)=-x+1$ et $h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction f et Δ la droite représentant la fonction g dans un repère orthonormé du plan.

partie a : Position relative de $C_f$ et de l'une de ses tangentes.

1. Vérifier, par le calcul, que la tangente à $C_f$ au point d'abscisse 0 est la droite Δ .

2. 1. Montrer que pour tout $x\in ℝ$, $h\prime \left(x\right)=1-{\mathrm{e}}^{-x}$.

   2. Étudier le signe de $h\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs de x.

   3. En déduire le sens de variation de la fonction h sur $ℝ$.

3. En utilisant les questions 1. et 2., étudier la position relative de la courbe $C_f$ et de sa tangente au point d'abscisse 0.

partie b : Calcul d'aire

1. Montrer que ${\displaystyle {\int }_0^{1}h\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$.

2. Dans cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte dans l'évaluation.

   Soit a un nombre réel vérifiant $a>1$. On appelle D le domaine colorié sur le graphique. On note A l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine D.

   1. Déterminer en fonction de a la valeur de A .

      L'aire A, exprimée en unité d'aire, du domaine D est égale à la somme des aires $A_1$ et $A_2$ où :

      • $A_1$ est l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine $D_1$ compris entre la courbe $C_f$, la droite Δ, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$
      • $A_2$ est l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine $D_a$ compris entre la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=a$

   2. Déterminer la limite de A lorsque a tend vers $+\infty$ .

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