sujet : Liban

indications pour l'exercice 2 : commun à tous les candidats

On rappelle que :

• Le taux d'emploi d'une classe d'individus est calculé en rapportant le nombre d'individus de la classe ayant un emploi au nombre total d'individus dans la classe.
• Un individu âgé de 55 ans à 64 ans est appelé un « senior ».
• UE désigne l'Union européenne.

Selon un rapport de l'INSEE :
« Le taux d'emploi des personnes âgées de 55 à 64 ans est considéré comme un levier privilégié pour limiter l'exclusion de ces personnes du marché du travail et maîtriser les dépenses de retraites. En 2008, il est de 45,6 % dans l'UE, mais seulement de 38,3 % en France alors que l'objectif de l'UE comme de la France est d'atteindre 50 % en 2010. »

Le but de l'exercice est de vérifier si la France a atteint l'objectif visé par l'UE.

Dans tout l'exercice, le taux d'emploi sera exprimé en pourcentage. Les valeurs approchées seront arrondies au dixième.

partie a : Étude statistique et interpolation de données

Le tableau ci-dessous indique le taux d'emploi des seniors en France entre 1992 et 1998 :

Source : INSEE, Eurostat

Année	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998
Rang de l'année $x_i$	0	1	2	3	4	5	6
Taux d'emploi des seniors en % $y_i$	29,8	29,7	29,6	29,6	29,4	29	28,3

1. Déterminer, en utilisant la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.

2. Selon cet ajustement, déterminer le taux d'emploi des seniors en 1999.

3. Selon cet ajustement, déterminer si la France a atteint l'objectif fixé en 2010.

partie b : Interpolation de données à l'aide d'un second modèle

Le taux d'emploi des séniors en France est en réalité de 28,8 % en 1999 et on admet qu'à partir de l'année 2000 + n, il est donné par l'expression $\mathrm{29,9}\times {\mathrm{1,037}}^n$ où n désigne un entier naturel. Selon ce modèle, déterminer :

Attention dans cette partie, le rang de l'année a été modifié

1. Le taux d'emploi des seniors en 2010.

2. À partir de quelle année, la France aura atteint son objectif.

   Le rang n de l'année à partir de laquelle la France a atteint son objectif est le plus petit entier n solution de l'inéquation $\mathrm{29,9}\times {\mathrm{1,037}}^n⩾50$

partie c : Extrapolation de données selon un troisième modèle

Le tableau ci-dessous indique le taux d'emploi des seniors en France entre 2001 et 2009 :

Source : INSEE, Eurostat

Année	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
Rang de l'année $x_i$	9	10	11	12	13	14	15	16	17
Taux d'emploi des seniors en % $y_i$	31,9	34,7	37	37,8	38,5	38,1	38,2	38,2	38,9

Désormais, à partir de 2001, on choisit un modèle logarithmique et on admettra qu'à partir de 2001, le taux d'emploi des seniors est donné par la fonction f définie sur $\left[9;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=a\ln \left(x+1\right)+b$ où a et b désignent deux nombres réels.

1. En considérant les années 2001 et 2006, écrire le système d'équations que doivent vérifier a et b.

2. En déduire que $a={\displaystyle \frac{\mathrm{6,2}}{\ln \mathrm{1,5}}}$.

3. Dans la suite, on admettra que $a=\mathrm{15,3}$ et $b=-\mathrm{3,3}$.

   Selon ce modèle, déterminer à partir de quelle année, la France aura atteint son objectif.

   Le rang n de l'année à partir de laquelle la France a atteint son objectif est le plus petit entier n solution de l'inéquation :$\mathrm{15,3}\ln \left(n+1\right)-\mathrm{3,3}⩾50$.

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