sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

1. Calculer le pourcentage d'évolution, arrondi à 0,1% près, du prix moyen d'un litre de gasoil en euros entre 1998 et 2007.

   Le taux du pourcentage d'évolution du prix moyen d'un litre de gasoil en euros entre 1998 et 2007 est :$${\displaystyle \frac{\mathrm{1,11}-\mathrm{0,77}}{\mathrm{0,77}}}\times 100\approx \mathrm{44,1}$$

   Entre entre 1998 et 2007, le prix moyen d'un litre de gasoil a augmenté de 44%.

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2. 1. Représenter le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$, avec i compris entre 0 et 9, associé à cette série statistique, dans le plan rapporté à un repère orthogonal.
      On choisira les unités graphiques suivantes :
      1 cm pour 1 année sur l'axe des abscisses.
      1 cm pour 10 centimes d'euros sur l'axe des ordonnées.

   2. Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série et le placer dans le repère précédent.

      $$\begin{array}{ccc}\overline{x}={\displaystyle \frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9}{10}}=\mathrm{4,5}& \text{et}& \overline{y}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,77}+\mathrm{0,81}+\mathrm{0,73}+\mathrm{0,79}+\mathrm{0,8}+\mathrm{0,85}+\mathrm{0,99}+\mathrm{1,06}+\mathrm{1,1}+\mathrm{1,11}}{10}}=\mathrm{0,901}\end{array}$$

      Le point moyen G du nuage a pour coordonnées $G\left(\mathrm{4,5};\mathrm{0,901}\right)$

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3. On modélise l'évolution du prix moyen d'un litre de gasoil en euros à l'aide d'un ajustement affine, obtenu par la méthode des moindres carrés.
   Donner l'équation de la droite de régression de y en x ainsi obtenue, en arrondissant les coefficients au millième.
   Tracer cette droite dans le repère défini à la question 2.

   La droite d'ajustement de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés, a pour équation $y=\mathrm{0,045}x+\mathrm{0,7}$. (coefficients arrondis au millième)

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4. Avec ce modèle, calculer l'estimation du prix moyen d'un litre de gasoil en euros en 2010. Arrondir le résultat au centime d'euros

   Le rang de l'année 2010 est 12 et : $$\mathrm{0,045}\times 12+\mathrm{0,7}=\mathrm{1,24}$$

   En 2010, le prix moyen d'un litre de gasoil était de 1,24 €.

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5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   En supposant que le modèle reste valable durablement, à partir de quelle année le prix moyen du litre de gasoil aura-t-il augmenté de 30% par rapport au prix moyen de l'année 2007 ?

   Le rang de l'année est le plus petit entier x tel que :$$\begin{array}{cc}\mathrm{0,045}x+\mathrm{0,7}⩾\mathrm{1,3}\times \mathrm{1,11}& \iff x⩾{\displaystyle \frac{\mathrm{0,743}}{\mathrm{0,045}}}\end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{\mathrm{0,743}}{\mathrm{0,045}}}\approx \mathrm{16,5}$ donc $x=17$.

   Selon ce modèle, à partir de 2015, le prix moyen du litre de gasoil aura augmenté de plus de 30% par rapport au prix moyen de l'année 2007.

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