Baccalauréat juin 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans une grande entreprise, tous les agents commerciaux ont une voiture de fonction, qu'ils doivent choisir entre deux marques A et B. Le parc de véhicules (en location) est renouvelé tous les ans.

On suppose que le nombre d'agents commerciaux de l'entreprise ne varie pas, et que le deux marques A et B restent les seules possibilités pour les voitures de fonction proposées dans l'entreprise.

On a constaté que, chaque année :

5 % des agents commerciaux utilisant un véhicule de marque A changent l'année suivante pour B ;
15 % des agents commerciaux utilisant un véhicule de marque B changent l'année suivantes pour A ;
les autres agents poursuivent l'année suivante avec un véhicule de même marque.

On appelle $a_{n}$ la probabilité qu'un agent commercial choisi au hasard utilise un véhicule de marque A au début de l'année 2010 + n, et $b_{n}$ la probabilité qu'il utilise un véhicule de marque B au début de cette même année.

On note $P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année 2010 + n.

En 2010, la moitié des agents commerciaux possédaient un véhicule de marque A ; ainsi : $P_{0} = (\begin{matrix} 0,5 & 0,5 \end{matrix})$ .

Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, et donner la matrice de transition M (on considèrera les sommets du graphe dans l'ordre alphabétique).
On a constaté que, chaque année :
- 5 % des agents commerciaux utilisant un véhicule de marque A changent l'année suivante pour B d'où $p_{A_{n}} (B_{n + 1}) = 0,05$ et $p_{A_{n}} (A_{n + 1}) = 0,95$
- 15 % des agents commerciaux utilisant un véhicule de marque B changent l'année suivantes pour A d'où $p_{B_{n}} (A_{n + 1}) = 0,15$ et $p_{B_{n}} (B_{n + 1}) = 0,85$
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
La matrice de transition M de ce graphe telle que $(\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix}) \times M$ est : $M = (\begin{matrix} 0,95 & 0,05 \\ 0,15 & 0,85 \end{matrix})$ .
Justifier que $P_{1} = (\begin{matrix} 0,55 & 0,45 \end{matrix})$ et donner une interprétation concrète des coefficients de cette matrice.
$P_{1} = P_{0} \times M$ , soit : $\begin{matrix} P_{1} & = & (\begin{matrix} 0,5 & 0,5 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,95 & 0,05 \\ 0,15 & 0,85 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} 0,5 \times 0,95 + 0,5 \times 0,15 & 0,5 \times 0,05 + 0,5 \times 0,85 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} 0,55 & 0,45 \end{matrix}) \end{matrix}$
En 2011, 55% des agents commerciaux possédaient un véhicule de marque A et 45% des agents commerciaux possédaient un véhicule de marque B.
Déterminer l'état probabiliste stable du système et interpréter les résultats obtenus.
Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état $P_{n}$ converge vers un état stable $P = (\begin{matrix} x & y \end{matrix})$ avec $x + y = 1$ indépendant de l'état initial.
Nous avons $P = P M$ et $x + y = 1$ alors $\begin{matrix} (\begin{matrix} x & y \end{matrix}) = (\begin{matrix} x & y \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,95 & 0,05 \\ 0,15 & 0,85 \end{matrix}) \end{matrix}$ avec $x + y = 1$ . D'où x et y sont solutions du système $\begin{matrix} {\begin{array}{rcl} x & = & 0,95 x + 0,15 y \\ y & = & 0,05 x + 0,85 y \\ x + y & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} 0,05 x - 0,15 y & = & 0 \\ - 0,05 x + 0,15 y & = & 0 \\ x + y & = & 1 \end{array} \end{matrix}$
Soit x et y solutions du système $\begin{matrix} {\begin{array}{rcl} 0,05 x - 0,15 y & = & 0 \\ x + y & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} 0,2 x & = & 0,15 \\ x + y & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} x & = & 0,75 \\ y & = & 0,25 \end{array} \end{matrix}$
L'état stable du système est $P = (\begin{matrix} 0,75 & 0,25 \end{matrix})$ . Sur le long terme, d'une année sur l'autre, 75% des agents commerciaux possèderont un véhicule de marque A et 25% des agents commerciaux un véhicule de marque B.
1. Que vaut, pour tout entier naturel n, la somme $a_{n} + b_{n}$ ?
  $P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ est la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année 2010 + n donc pour tout entier naturel n, $a_{n} + b_{n} = 1$
2. On sait, pour tout entier naturel n, que $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ ; démontrer, pour tout entier naturel n, que $a_{n + 1} = 0,8 a_{n} + 0,15$ .
  Pour tout entier n supérieur ou égal à 0, $\begin{matrix} P_{n + 1} = P_{n} \times M & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,95 & 0,05 \\ 0,15 & 0,85 \end{matrix}) \\ \Leftrightarrow & (\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,95 a_{n} + 0,15 b_{n} & 0,05 a_{n} + 0,85 b_{n} \end{matrix}) \end{matrix}$
  Soit $a_{n + 1} = 0,95 a_{n} + 0,15 b_{n}$ avec pour tout entier $n ⩾ 0$ , $a_{n} + b_{n} = 1$ . D'où $a_{n + 1} = 0,95 a_{n} + 0,15 \times (1 - a_{n}) = 0,8 a_{n} + 0,15$
  Ainsi, pour tout entier $n ⩾ 0$ , $a_{n + 1} = 0,8 a_{n} + 0,15$ .
Pour tout entier naturel n, on pose : $u_{n} = a_{n} - 0,75$ .
1. Démontrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 dont on précisera le premier terme.
  Pour tout entier naturel n, $\begin{matrix} u_{n + 1} = a_{n + 1} - 0,75 & \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,8 a_{n} + 0,15 - 0,75 \\ \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,8 a_{n} - 0,6 \\ \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,8 \times (a_{n} - 0,75) \\ \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,8 u_{n} \end{matrix}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,8 u_{n}$ donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8. Or $\begin{matrix} u_{0} = a_{0} - 0,75 & Soit & u_{0} = 0,5 - 0,75 = - 0,25 \end{matrix}$
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme $u_{0} = - 0,25$ .
2. Exprimer $u_{n}$ en fonction de n, puis démontrer que pour tout entier naturel n, $a_{n} = - 0,25 \times {0,8}^{n} + 0,75$ .
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme $u_{0} = - 0,25$ alors, pour tout entier naturel n, $u_{n} = - 0,25 \times {0,8}^{n}$
  Or pour tout entier naturel n, $\begin{matrix} u_{n} = a_{n} - 0,75 & \Leftrightarrow & a_{n} = u_{n} + 0,75 \\ \Leftrightarrow & a_{n} = - 0,25 \times {0,8}^{n} + 0,75 \end{matrix}$
  Donc pour tout entier naturel n, $a_{n} = - 0,25 \times {0,8}^{n} + 0,75$ .
3. Déterminer la limite de la suite $(a_{n})$ . Quel résultat retrouve-t-on ainsi ?
  $0 < 0,8 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,8}^{n} = 0$ et $\lim_{n \to + \infty} - 0,25 \times {0,8}^{n} + 0,75 = 0,75$
  La suite $(a_{n})$ converge vers 0,75. Sur le long terme, d'une année sur l'autre, 75% des agents commerciaux possèderont un véhicule de marque A.

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