Dans une grande entreprise, tous les agents commerciaux ont une voiture de fonction, qu'ils doivent choisir entre deux marques A et B. Le parc de véhicules (en location) est renouvelé tous les ans.
On suppose que le nombre d'agents commerciaux de l'entreprise ne varie pas, et que le deux marques A et B restent les seules possibilités pour les voitures de fonction proposées dans l'entreprise.
On a constaté que, chaque année :
On appelle la probabilité qu'un agent commercial choisi au hasard utilise un véhicule de marque A au début de l'année 2010 + n, et la probabilité qu'il utilise un véhicule de marque B au début de cette même année.
On note la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année 2010 + n.
En 2010, la moitié des agents commerciaux possédaient un véhicule de marque A ; ainsi : .
Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, et donner la matrice de transition M (on considèrera les sommets du graphe dans l'ordre alphabétique).
On a constaté que, chaque année :
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
La matrice de transition M de ce graphe telle que est : .
Justifier que et donner une interprétation concrète des coefficients de cette matrice.
, soit :
En 2011, 55% des agents commerciaux possédaient un véhicule de marque A et 45% des agents commerciaux possédaient un véhicule de marque B.
Déterminer l'état probabiliste stable du système et interpréter les résultats obtenus.
Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état converge vers un état stable avec indépendant de l'état initial.
Nous avons et alors avec . D'où x et y sont solutions du système
Soit x et y solutions du système
L'état stable du système est . Sur le long terme, d'une année sur l'autre, 75% des agents commerciaux possèderont un véhicule de marque A et 25% des agents commerciaux un véhicule de marque B.
Que vaut, pour tout entier naturel n, la somme ?
est la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année 2010 + n donc pour tout entier naturel n,
On sait, pour tout entier naturel n, que ; démontrer, pour tout entier naturel n, que .
Pour tout entier n supérieur ou égal à 0,
Soit avec pour tout entier , . D'où
Ainsi, pour tout entier , .
Pour tout entier naturel n, on pose : .
Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,8 dont on précisera le premier terme.
Pour tout entier naturel n,
Ainsi, pour tout entier naturel n, donc est une suite géométrique de raison 0,8. Or
est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme .
Exprimer en fonction de n, puis démontrer que pour tout entier naturel n, .
est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme alors, pour tout entier naturel n,
Or pour tout entier naturel n,
Donc pour tout entier naturel n, .
Déterminer la limite de la suite . Quel résultat retrouve-t-on ainsi ?
donc et
La suite converge vers 0,75. Sur le long terme, d'une année sur l'autre, 75% des agents commerciaux possèderont un véhicule de marque A.
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